eye函數(shù)python eye函數(shù)可以產(chǎn)生對角陣

怎么用python表示出二維高斯分布函數(shù)，mu表示均值，sigma表示協(xié)方差矩陣，x表示數(shù)據(jù)點

clear?

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close?all

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%生成實驗數(shù)據(jù)集

rand('state',0)

sigma_matrix1=eye(2);

sigma_matrix2=50*eye(2);

u1=[0,0];

u2=[30,30];

m1=100;

m2=300;%樣本數(shù)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%sm1數(shù)據(jù)集

Y1=multivrandn(u1,m1,sigma_matrix1);

Y2=multivrandn(u2,m2,sigma_matrix2);

scatter(Y1(:,1),Y1(:,2),'bo')

hold?on

scatter(Y2(:,1),Y2(:,2),'r*')

title('SM1數(shù)據(jù)集')

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%sm2數(shù)據(jù)集

u11=[0,0];

u22=[5,5];

u33=[10,10];

u44=[15,15];

m=600;

sigma_matrix3=2*eye(2);

Y11=multivrandn(u11,m,sigma_matrix3);

Y22=multivrandn(u22,m,sigma_matrix3);

Y33=multivrandn(u33,m,sigma_matrix3);

Y44=multivrandn(u44,m,sigma_matrix3);

figure(2)

scatter(Y11(:,1),Y11(:,2),'bo')

hold?on

scatter(Y22(:,1),Y22(:,2),'r*')

scatter(Y33(:,1),Y33(:,2),'go')

scatter(Y44(:,1),Y44(:,2),'c*')

title('SM2數(shù)據(jù)集')

end

function?Y?=?multivrandn(u,m,sigma_matrix)

%%生成指定均值和協(xié)方差矩陣的高斯數(shù)據(jù)

n=length(u);

c?=?chol(sigma_matrix);

X=randn(m,n);

Y=X*c+ones(m,1)*u;

end

python3的sympy

print（“字符串”），5/2和5//2的結(jié)果是不同的5/2為2.5,5//2為2.

python2需要導(dǎo)入from_future_import division執(zhí)行普通的除法。

1/2和1//2的結(jié)果0.5和0.

%號為取模運算。

乘方運算為2**3，-2**3和-（2**3）是等價的。

from sympy import*導(dǎo)入庫

x,y,z=symbols('x y z'),定義變量

init_printing(use_unicode=True)設(shè)置打印方式。

python的內(nèi)部常量有pi，

函數(shù)simplify，simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2)化簡結(jié)果為1，

simplify((x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1))化簡結(jié)果為x-1?；嗁ゑR函數(shù)。simplify(gamma(x)/gamma(x - 2))得（x-2）(x-1)。

expand((x + 1)**2)展開多項式。

expand((x + 1)*(x - 2) - (x - 1)*x)

因式分解。factor(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)得到z*(x + 2*y)**2

from_future_import division

x,y,z,t=symbols('x y z t')定義變量，

k, m, n = symbols('k m n', integer=True)定義三個整數(shù)變量。

f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)定義的類型為函數(shù)。

factor_list(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)得到一個列表，表示因式的冪，(1, [(z, 1), (x + 2*y, 2)])

expand((cos(x) + sin(x))**2)展開多項式。

expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3，collected_expr = collect(expr, x)將x合并。將x元素按階次整合。

collected_expr.coeff(x, 2)直接取出變量collected_expr的x的二次冪的系數(shù)。

cancel()is more efficient thanfactor().

cancel((x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x))

，expr = (x*y**2 - 2*x*y*z + x*z**2 + y**2 - 2*y*z + z**2)/(x**2 - 1)，cancel(expr)

expr = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)，apart(expr)

asin(1)

trigsimp(sin(x)**2 + cos(x)**2)三角函數(shù)表達(dá)式化簡，

trigsimp(sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4)

trigsimp(sin(x)*tan(x)/sec(x))

trigsimp(cosh(x)**2 + sinh(x)**2)雙曲函數(shù)。

三角函數(shù)展開，expand_trig(sin(x + y))，acos(x)，cos(acos(x))，expand_trig(tan(2*x))

x, y = symbols('x y', positive=True)正數(shù)，a, b = symbols('a b', real=True)實數(shù)，z, t, c = symbols('z t c')定義變量的方法。

sqrt(x) == x**Rational(1, 2)判斷是否相等。

powsimp(x**a*x**b)冪函數(shù)的乘法，不同冪的乘法，必須先定義a和b。powsimp(x**a*y**a)相同冪的乘法。

powsimp(t**c*z**c)，注意，powsimp()refuses to do the simplification if it is not valid.

powsimp(t**c*z**c, force=True)這樣的話就可以得到化簡過的式子。聲明強制進(jìn)行化簡。

(z*t)**2，sqrt(x*y)

第一個展開expand_power_exp(x**(a + b))，expand_power_base((x*y)**a)展開，

expand_power_base((z*t)**c, force=True)強制展開。

powdenest((x**a)**b)，powdenest((z**a)**b)，powdenest((z**a)**b, force=True)

ln(x)，x, y ,z= symbols('x y z', positive=True)，n = symbols('n', real=True)，

expand_log(log(x*y))展開為log(x) + log(y)，但是python3沒有。這是因為需要將x定義為positive。這是必須的，否則不會被展開。expand_log(log(x/y)),expand_log(log(x**n))

As withpowsimp()andpowdenest(),expand_log()has aforceoption that can be used to ignore assumptions。

expand_log(log(z**2), force=True),強制展開。

logcombine(log(x) + log(y))，logcombine(n*log(x))，logcombine(n*log(z), force=True)。

factorial(n)階乘，binomial(n, k)等于c（n，k），gamma(z)伽馬函數(shù)。

hyper([1, 2], [3], z)，

tan(x).rewrite(sin)得到用正弦表示的正切。factorial(x).rewrite(gamma)用伽馬函數(shù)重寫階乘。

expand_func(gamma(x + 3))得到，x*(x + 1)*(x + 2)*gamma(x)，

hyperexpand(hyper([1, 1], [2], z))，

combsimp(factorial(n)/factorial(n - 3))化簡，combsimp(binomial(n+1, k+1)/binomial(n, k))化簡。combsimp(gamma(x)*gamma(1 - x))

自定義函數(shù)

def list_to_frac(l):

expr = Integer(0)

for i in reversed(l[1:]):

expr += i

expr = 1/expr

return l[0] + expr

list_to_frac([x, y, z])結(jié)果為x + 1/z，這個結(jié)果是錯誤的。

syms = symbols('a0:5')，定義syms，得到的結(jié)果為(a0, a1, a2, a3, a4)。

這樣也可以a0, a1, a2, a3, a4 = syms， 可能是我的操作錯誤 。發(fā)現(xiàn)python和自動縮進(jìn)有關(guān)，所以一定看好自動縮進(jìn)的距離。list_to_frac([1, 2, 3, 4])結(jié)果為43/30。

使用cancel可以將生成的分式化簡，frac = cancel(frac)化簡為一個分?jǐn)?shù)線的分式。

(a0*a1*a2*a3*a4 + a0*a1*a2 + a0*a1*a4 + a0*a3*a4 + a0 + a2*a3*a4 + a2 + a4)/(a1*a2*a3*a4 + a1*a2 + a1*a4 + a3*a4 + 1)

a0, a1, a2, a3, a4 = syms定義a0到a4，frac = apart(frac, a0)可將a0提出來。frac=1/(frac-a0)將a0去掉取倒。frac = apart(frac, a1)提出a1。

help("modules"),模塊的含義，help("modules yourstr")模塊中包含的字符串的意思。，

help("topics")，import os.path + help("os.path")，help("list")，help("open")

# -*- coding: UTF-8 -*-聲明之后就可以在ide中使用中文注釋。

定義

l = list(symbols('a0:5'))定義列表得到[a0, a1, a2, a3, a4]

fromsympyimport*

x,y,z=symbols('x y z')

init_printing(use_unicode=True)

diff(cos(x),x)求導(dǎo)。diff(exp(x**2), x)，diff(x**4, x, x, x)和diff(x**4, x, 3)等價。

diff(expr, x, y, 2, z, 4)求出表達(dá)式的y的2階，z的4階，x的1階導(dǎo)數(shù)。和diff(expr, x, y, y, z, 4)等價。expr.diff(x, y, y, z, 4)一步到位。deriv = Derivative(expr, x, y, y, z, 4)求偏導(dǎo)。但是不顯示。之后用deriv.doit()即可顯示

integrate(cos(x), x)積分。定積分integrate(exp(-x), (x, 0, oo))無窮大用2個oo表示。integrate(exp(-x**2-y**2),(x,-oo,oo),(y,-oo,oo))二重積分。print(expr)print的使用。

expr = Integral(log(x)**2, x)，expr.doit()積分得到x*log(x)**2 - 2*x*log(x) + 2*x。

integ.doit()和integ = Integral((x**4 + x**2*exp(x) - x**2 - 2*x*exp(x) - 2*x -

exp(x))*exp(x)/((x - 1)**2*(x + 1)**2*(exp(x) + 1)), x)連用。

limit(sin(x)/x,x,0)，not-a-number表示nan算不出來，limit(expr, x, oo)，，expr = Limit((cos(x) - 1)/x, x, 0)，expr.doit()連用。左右極限limit(1/x, x, 0, '+')，limit(1/x, x, 0, '-')。。

Series Expansion級數(shù)展開。expr = exp(sin(x))，expr.series(x, 0, 4)得到1 + x + x**2/2 + O(x**4)，，x*O(1)得到O(x)，，expr.series(x, 0, 4).removeO()將無窮小移除。exp(x-6).series(x,x0=6)，，得到

-5 + (x - 6)**2/2 + (x - 6)**3/6 + (x - 6)**4/24 + (x - 6)**5/120 + x + O((x - 6)**6, (x, 6))最高到5階。

f=Function('f')定義函數(shù)變量和h=Symbol('h')和d2fdx2=f(x).diff(x,2)求2階，，as_finite_diff(dfdx)函數(shù)和as_finite_diff(d2fdx2,[-3*h,-h,2*h])，，x_list=[-3,1,2]和y_list=symbols('a b c')和apply_finite_diff(1,x_list,y_list,0)。

Eq(x, y)，，solveset(Eq(x**2, 1), x)解出來x，當(dāng)二式相等。和solveset(Eq(x**2 - 1, 0), x)等價。solveset(x**2 - 1, x)

solveset(x**2 - x, x)解，solveset(x - x, x, domain=S.Reals)解出來定義域。solveset(exp(x), x)? ? # No solution exists解出EmptySet()表示空集。

等式形式linsolve([x + y + z - 1, x + y + 2*z - 3 ], (x, y, z))和矩陣法linsolve(Matrix(([1, 1, 1, 1], [1, 1, 2, 3])), (x, y, z))得到{(-y - 1, y, 2)}

A*x = b 形式，M=Matrix(((1,1,1,1),(1,1,2,3)))，system=A,b=M[:,:-1],M[:,-1]，linsolve(system,x,y,z)，，solveset(x**3 - 6*x**2 + 9*x, x)解多項式。roots(x**3 - 6*x**2 + 9*x, x)，得出，{3: 2, 0: 1}，有2個3的重根，1個0根。solve([x*y - 1, x - 2], x, y)解出坐標(biāo)。

f, g = symbols('f g', cls=Function)函數(shù)的定義，解微分方程diffeq = Eq(f(x).diff(x, x) - 2*f(x).diff(x) + f(x), sin(x))再和dsolve(diffeq,f(x))結(jié)合。得到Eq(f(x), (C1 + C2*x)*exp(x) + cos(x)/2)，dsolve(f(x).diff(x)*(1 - sin(f(x))), f(x))解出來Eq(f(x) + cos(f(x)), C1)，，

Matrix([[1,-1],[3,4],[0,2]])，，Matrix([1, 2, 3])列表示。M=Matrix([[1,2,3],[3,2,1]])

N=Matrix([0,1,1])

M*N符合矩陣的乘法。M.shape顯示矩陣的行列數(shù)。

M.row(0)獲取M的第0行。M.col(-1)獲取倒數(shù)第一列。

M.col_del(0)刪掉第1列。M.row_del(1)刪除第二行，序列是從0開始的。M = M.row_insert(1, Matrix([[0, 4]]))插入第二行，，M = M.col_insert(0, Matrix([1, -2]))插入第一列。

M+N矩陣相加，M*N，3*M，M**2，M**-1，N**-1表示求逆。M.T求轉(zhuǎn)置。

eye(3)單位。zeros(2, 3)，0矩陣，ones(3, 2)全1，diag(1, 2, 3)對角矩陣。diag(-1, ones(2, 2), Matrix([5, 7, 5]))生成Matrix([

[-1, 0, 0, 0],

[ 0, 1, 1, 0],

[ 0, 1, 1, 0],

[ 0, 0, 0, 5],

[ 0, 0, 0, 7],

[ 0, 0, 0, 5]])矩陣。

Matrix([[1, 0, 1], [2, -1, 3], [4, 3, 2]])

一行一行顯示，，M.det()求行列式。M.rref()矩陣化簡。得到結(jié)果為Matrix([

[1, 0,? 1,? 3],

[0, 1, 2/3, 1/3],

[0, 0,? 0,? 0]]), [0, 1])。

M = Matrix([[1, 2, 3, 0, 0], [4, 10, 0, 0, 1]])，M.nullspace()

Columnspace

M.columnspace()和M = Matrix([[1, 2, 3, 0, 0], [4, 10, 0, 0, 1]])

M = Matrix([[3, -2,? 4, -2], [5,? 3, -3, -2], [5, -2,? 2, -2], [5, -2, -3,? 3]])和M.eigenvals()得到{3: 1, -2: 1, 5: 2}，，This means thatMhas eigenvalues -2, 3, and 5, and that the eigenvalues -2 and 3 have algebraic multiplicity 1 and that the eigenvalue 5 has algebraic multiplicity 2.

P, D = M.diagonalize()，P得Matrix([

[0, 1, 1,? 0],

[1, 1, 1, -1],

[1, 1, 1,? 0],

[1, 1, 0,? 1]])，，D為Matrix([

[-2, 0, 0, 0],

[ 0, 3, 0, 0],

[ 0, 0, 5, 0],

[ 0, 0, 0, 5]])

P*D*P**-1 == M返回為True。lamda = symbols('lamda')。

lamda = symbols('lamda')定義變量，p = M.charpoly(lamda)和factor(p)

expr = x**2 + x*y，srepr(expr)可以將表達(dá)式說明計算法則，"Add(Pow(Symbol('x'), Integer(2)), Mul(Symbol('x'), Symbol('y')))"。。

x = symbols('x')和x = Symbol('x')是一樣的。srepr(x**2)得到"Pow(Symbol('x'), Integer(2))"。Pow(x, 2)和Mul(x, y)得到x**2。x*y

type(2)得到class 'int'，type(sympify(2))得到class 'sympy.core.numbers.Integer'..srepr(x*y)得到"Mul(Symbol('x'), Symbol('y'))"。。。

Add(Pow(x, 2), Mul(x, y))得到"Add(Mul(Integer(-1), Pow(Symbol('x'), Integer(2))), Mul(Rational(1, 2), sin(Mul(Symbol('x'), Symbol('y')))), Pow(Symbol('y'), Integer(-1)))"。。Pow函數(shù)為冪次。

expr = Add(x, x)，expr.func。。Integer(2).func，class 'sympy.core.numbers.Integer',,Integer(0).func和Integer(-1).func，，，expr = 3*y**2*x和expr.func得到class 'sympy.core.mul.Mul',,expr.args將表達(dá)式分解為得到(3, x, y**2)，，expr.func(*expr.args)合并。expr == expr.func(*expr.args)返回True。expr.args[2]得到y(tǒng)**2，expr.args[1]得到x，expr.args[0]得到3.。

expr.args[2].args得到(y, 2)。。y.args得到空括號。Integer(2).args得到空括號。

from sympy import *

E**(I*pi)+1，可以看出，I和E，pi已將在sympy內(nèi)已定義。

x=Symbol('x')，，expand( E**(I*x) )不能展開，expand(exp(I*x),complex=True)可以展開，得到I*exp(-im(x))*sin(re(x)) + exp(-im(x))*cos(re(x))，，x=Symbol("x",real=True)將x定義為實數(shù)。再展開expand(exp(I*x),complex=True)得到。I*sin(x) + cos(x)。。

tmp = series(exp(I*x), x, 0, 10)和pprint(tmp)打印出來可讀性好，print(tmp)可讀性不好。。pprint將公式用更好看的格式打印出來，，pprint( series( cos(x), x, 0, 10) )

integrate(x*sin(x), x)，，定積分integrate(x*sin(x), (x, 0, 2*pi))。。

用雙重積分求解球的體積。

x, y, r = symbols('x,y,r')和2 * integrate(sqrt(r*r-x**2), (x, -r, r))計算球的體積。計算不來，是因為sympy不知道r是大于0的。r = symbols('r', positive=True)這樣定義r即可。circle_area=2*integrate(sqrt(r**2-x**2),(x,-r,r))得到。circle_area=circle_area.subs(r,sqrt(r**2-x**2))將r替換。

integrate(circle_area,(x,-r,r))再積分即可。

expression.sub([(x,y),(y,x)])又換到原來的狀況了。

expression.subs(x, y)，，將算式中的x替換成y。。

expression.subs({x:y,u:v}) : 使用字典進(jìn)行多次替換。。

expression.subs([(x,y),(u,v)]) : 使用列表進(jìn)行多次替換。。

numpy基礎(chǔ)——ndarray對象

numpy 是使用python進(jìn)行數(shù)據(jù)分析不可或缺的第三方庫，非常多的科學(xué)計算工具都是基于 numpy 進(jìn)行開發(fā)的。

ndarray對象是用于存放同類型元素的多維數(shù)組，是numpy中的基本對象之一，另一個是func對象。本文主要內(nèi)容是： 1 、簡單介紹ndarray對象 ； 2、ndarray對象的常用屬性 ； 3、如何創(chuàng)建ndarray對象 ； 4、ndarray元素訪問 。

它的維度以及個維度上的元素個數(shù)由 shape 決定。

標(biāo)題中的函數(shù)就是numpy的構(gòu)造函數(shù)，我們可以使用這個函數(shù)創(chuàng)建一個ndarray對象。構(gòu)造函數(shù)有如下幾個可選參數(shù)：

實例：

接下來介紹ndarray對象最常用的屬性

實例：

使用 array 函數(shù)，從常規(guī)的python列表或者元組中創(chuàng)建數(shù)組，元素的類型由原序列中的元素類型確定。

實例：

subok 為 True ，并且object是ndarray子類時（比如矩陣類型），返回的數(shù)組保留子類類型

某些時候，我們在創(chuàng)建數(shù)組之前已經(jīng)確定了數(shù)組的維度以及各維度的長度。這時我們就可以使用numpy內(nèi)建的一些函數(shù)來創(chuàng)建ndarray。

例如：函數(shù) ones 創(chuàng)建一個全1的數(shù)組、函數(shù) zeros 創(chuàng)建一個全0的數(shù)組、函數(shù) empty 創(chuàng)建一個內(nèi)容隨機的數(shù)組，在默認(rèn)情況下，用這些函數(shù)創(chuàng)建的數(shù)組的類型都是float64，若需要指定數(shù)據(jù)類型，只需要閑置 dtype 參數(shù)即可：

上述三個函數(shù)還有三個從已知的數(shù)組中，創(chuàng)建 shape 相同的多維數(shù)組： ones_like 、 zeros_like 、 empty_like ，用法如下：

除了上述幾個用于創(chuàng)建數(shù)組的函數(shù)，還有如下幾個特殊的函數(shù)：

特別地， eye 函數(shù)的全1的對角線位置有參數(shù)k確定

用法如下：

除了上面兩個函數(shù)還有其他幾個類似的從外部獲取數(shù)據(jù)并創(chuàng)建ndarray，比如： frombuffer 、 fromfile 、 fromiter ，還沒用過，等用到了在詳細(xì)記錄

ndarray提供了一些創(chuàng)建二維數(shù)組的特殊函數(shù)。numpy中matrix是對二維數(shù)組ndarray進(jìn)行了封裝之后的子類。這里介紹的關(guān)于二維數(shù)組的創(chuàng)建，返回的依舊是一個ndarray對象，而不是matrix子類。關(guān)于matrix的創(chuàng)建和操作，待后續(xù)筆記詳細(xì)描述。為了表述方便，下面依舊使用 矩陣 這一次來表示創(chuàng)建的二維數(shù)組。

對于一維的ndarray可以使用python訪問內(nèi)置list的方式進(jìn)行訪問：整數(shù)索引、切片、迭代等方式

關(guān)于ndarray切片

與內(nèi)置list切片類似，形式：

array[beg:end:step]

beg: 開始索引

end: 結(jié)束索引（不包含這個元素）

step: 間隔

需要注意的是 ：

特別注意的是，ndarray中的切片返回的數(shù)組中的元素是原數(shù)組元素的索引，對返回數(shù)組元素進(jìn)行修改會影響原數(shù)組的值

除了上述與list相似的訪問元素的方式，ndarray有一種通過 列表 來指定要從ndarray中獲取元素的索引，例如：

多維ndarray中，每一維都叫一個軸axis。在ndarray中軸axis是非常重要的，有很多對于ndarray對象的運算都是基于axis進(jìn)行，比如sum、mean等都會有一個axis參數(shù)（針對對這個軸axis進(jìn)行某些運算操作），后續(xù)將會詳細(xì)介紹。

對于多維數(shù)組，因為每一個軸都有一個索引，所以這些索引由逗號進(jìn)行分割，例如：

需要注意的是 ：

多維數(shù)組的迭代

可以使用ndarray的 flat 屬性迭代數(shù)組中每一個元素

創(chuàng)建對角線元素全1的函數(shù)是哪個?具體參數(shù)做簡要說明

python中，可以用numpy庫中的eye函數(shù)創(chuàng)建對角線元素全1的矩陣：

n = 3

H = np.eye(n)

參數(shù)n為所要創(chuàng)建矩陣的大小，生成的矩陣H大小為n*n

當(dāng)前題目：eye函數(shù)python eye函數(shù)可以產(chǎn)生對角陣
文章源于：http://www.muchs.cn/article12/doocpdc.html

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