二進(jìn)制數(shù)的編碼表示-創(chuàng)新互聯(lián)

數(shù)值信息在計(jì)算機(jī)內(nèi)是采用二進(jìn)制編碼表示。數(shù)有正負(fù)之分，一般情況下，用"0"表示正號(hào)，"1"表示負(fù)號(hào)，符號(hào)位放在數(shù)的最高位。
例如，8位二進(jìn)制數(shù)A = (+1011011)，B = (-1011011)，它們?cè)跈C(jī)器中可以表示為：
A：01011011
B：11011011

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計(jì)算機(jī)中幾種常用的編碼----原碼、反碼和補(bǔ)碼。

1.原碼
將符號(hào)位數(shù)字化為0或1，數(shù)的絕對(duì)值與符號(hào)一起編碼，即所謂"符號(hào)-絕對(duì)值表示"的編碼，稱為原碼。
例如：
整數(shù)：
X = +1011011，原碼：[X]原 = 01011011；
X = -1011011，原碼：[X]原= 11011011；
小數(shù)：
對(duì)于一個(gè)帶符號(hào)的純小數(shù)，它的原碼表示就是把小數(shù)點(diǎn)左邊一位用作符號(hào)位。
X = 0.1011，原碼：[X]原 = 0.1011；
X = -0.1011，原碼：[X]原 = 1.1011；

當(dāng)采用原碼表示法時(shí)，編碼簡(jiǎn)單直觀，與真值轉(zhuǎn)換方便。但原碼也存在一些問題，一是零的表示不唯一，因?yàn)椋篬+0] = 000···0，[-0] = 100···0  零有二義性，
            給機(jī)器判零帶來麻煩。二是用原碼進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，符號(hào)位需要單獨(dú)處理，且運(yùn)算規(guī)則復(fù)雜。例如加法運(yùn)算，若兩數(shù)同號(hào)，兩數(shù)相加，結(jié)果取共同的符號(hào)；
            若兩數(shù)異號(hào)，則要大數(shù)減去小數(shù)，結(jié)果冠以大號(hào)的符號(hào)。此外，借位操作如果用計(jì)算機(jī)硬件來實(shí)現(xiàn)是很困難的。

2.反碼
反碼很少使用，但作為一種編碼方式和求補(bǔ)碼的中間碼，我們還是要學(xué)習(xí)一下的。
正數(shù)的反碼與原碼表示相同。
負(fù)數(shù)反碼的符號(hào)位與原碼相同(仍用1表示)，其余各位取反(0變1,1變0)。例如：
X = +1100110， [X]原 = 01100110，[X]反 = +1100110；
X = -1100110，[X]原 = 11100110，[X]反 = 10011001；
X = +0000000，[X]原 = 00000000，[X]反 = 00000000；
X = -0000000，[X]原 = 10000000，[X]反 = 111111111；
和原碼一樣，反碼中的零的表示也不唯一。
當(dāng)X為純小數(shù)時(shí)，反碼的表示如下：
X = 0.1011，[X]原 = 0.1011，[X]反 = 0.1011；
X = -0.1011，[X]原 = 1.1011，[X]反 = 1.0100；

3.補(bǔ)碼
(1)模數(shù)的概念
模數(shù)從物理意義上講，是某種計(jì)量器的容量。例如，我們?nèi)粘Ｉ钪杏玫降溺姳?，模?shù)就是12。鐘表計(jì)時(shí)的方式就是達(dá)到12就從零開始(扔掉一個(gè)12)，這在數(shù)學(xué)上是一種"取模(或取余)運(yùn)算(mod)"。例如：14%12 = 2。
如果現(xiàn)在的準(zhǔn)確時(shí)間是6點(diǎn)整，而你的手表指向8點(diǎn)，怎樣把表撥準(zhǔn)呢？可以有兩種方法：把表往后撥2小時(shí)，或把表往前撥10小時(shí)，效果是一樣的。即：
8-2 = 6
(8+10)%12 = 6

  在模數(shù)系統(tǒng)中，8-2 = 8+10 (mod 12)
         上式之所以成立，是因?yàn)?與10對(duì)模數(shù)12是互為補(bǔ)數(shù)的(2+10 = 12)。因此，可以認(rèn)可這樣一個(gè)結(jié)論：在模數(shù)系統(tǒng)中，一個(gè)數(shù)減去另一個(gè)數(shù)，或者一個(gè)數(shù)加上一個(gè)負(fù)數(shù)，等于第一個(gè)數(shù)加上第二個(gè)數(shù)的補(bǔ)數(shù)：
                                                                                                                                                 8+(-2) = 8+10 (mod 12)
            我們稱10為-2在模12下的"補(bǔ)碼"。負(fù)數(shù)采用補(bǔ)碼表示后，可以使加減法統(tǒng)一為加法運(yùn)算。
            在計(jì)算機(jī)中，機(jī)器表示數(shù)據(jù)的字長(zhǎng)是固定的。對(duì)于n位數(shù)來說，模數(shù)的大小是：n位數(shù)全為1，且末位再加1。實(shí)際上模數(shù)的值已經(jīng)超過了機(jī)器所能表示的數(shù)的范圍，因此模數(shù)在機(jī)器中是表示不出來的。若運(yùn)算結(jié)果大于模數(shù)，則模數(shù)自動(dòng)丟掉，也就等于實(shí)現(xiàn)了取模運(yùn)算。
            如果有n位整數(shù)(包括一位符號(hào)位)，則它的模數(shù)為2^n；如果有n位小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)前一位為符號(hào)位，則它的模數(shù)為2。

    ***(2)補(bǔ)碼表示法***
    由以上討論得知，對(duì)于一個(gè)二進(jìn)制負(fù)數(shù)，可用其模數(shù)與真值做加法(模減去該數(shù)的絕對(duì)值)求得其補(bǔ)碼。
    例：  X = -0110    [X]補(bǔ) = 2^4 + (-0110) = 1010
             X = -0.1011  [X]補(bǔ) = 2 + (-0.1011) = 1.0101
                     由于機(jī)器中不存在數(shù)的真值形式，用上述公式求補(bǔ)碼在機(jī)器中不易實(shí)現(xiàn)，但從上式可推導(dǎo)出一個(gè)簡(jiǎn)便方法。
                     "對(duì)于一個(gè)負(fù)數(shù)，其補(bǔ)碼由該數(shù)反碼的最末位加1求得。"
                    "對(duì)于正數(shù)來說，其原碼、反碼、補(bǔ)碼形式相同?！?
                    補(bǔ)碼的特點(diǎn)之一就是零的表示唯一。
                      [+0]補(bǔ) = 0 0 ···0           [-0]補(bǔ) = 1 1 ··· 1 + 1 = 1 0 0 ··· 0
                                      |_____|                        |______|          |  |______|
                                                       n位                               n位              |      n位
                                                                                               |_ _ _ _ _ _ _ 自動(dòng)丟失 
                    這種簡(jiǎn)便的求補(bǔ)碼方法經(jīng)常被簡(jiǎn)稱為"求反加1"。

(3)補(bǔ)碼的運(yùn)算規(guī)則
采用補(bǔ)碼表示的另一個(gè)好處就是當(dāng)數(shù)值信息參與算術(shù)運(yùn)算時(shí)，采用補(bǔ)碼方式是最方便的。首先，"符號(hào)位可作為數(shù)值參加運(yùn)算，"最后仍可得到正確的結(jié)果符號(hào)，符號(hào)無需單獨(dú)處理；其次，采用補(bǔ)碼進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，減法運(yùn)算可轉(zhuǎn)換為加法運(yùn)算，簡(jiǎn)化了硬件中的運(yùn)算電路。
例如：
計(jì)算67-10=？
[+67]原 = 01000011， [+67]補(bǔ) = [+67]原
[-10]原 = 10001010， [-10]補(bǔ) = 11110110

      0 1 0 0 0 0 1 1        [+67]補(bǔ)
            +  1 1 1 1 0 1 1 0        [-10]補(bǔ)
            ——————————————
             1 0 0 1 1 1 0 0 1   = 57
              |____________________________ 最高位的進(jìn)位自然丟失
                 由于字長(zhǎng)只有8位，因此加法最高位的進(jìn)位自然丟失，達(dá)到了取模效果(即丟掉了一個(gè)模數(shù))。
                 應(yīng)當(dāng)指出，"補(bǔ)碼運(yùn)算的結(jié)果仍為補(bǔ)碼。" 上例中，從結(jié)果符號(hào)位得知，結(jié)果為正，所以補(bǔ)碼即原碼，轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為57。
       如果結(jié)果為負(fù)，則是負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼形式，若要變成原碼，需要對(duì)補(bǔ)碼再求補(bǔ)，即可還原為原碼。
 例如：
         10 - 67 = ？
                 [+10]原 = 00001010 = [+10]補(bǔ)
                 [-67]原 = 11000011     [-67]補(bǔ) = 10111101

                        0 0 0 0 1 0 1 0
                +  1 0 1 1 1 1 0 1
                ——————————
                      1 1 0 0 0 1 1 1

                            [結(jié)果]補(bǔ) = 11000111，[結(jié)果]原 = 10111001
                            所以結(jié)果的真值為-0111001，十進(jìn)制為-57。

                    以上兩個(gè)例子是否就可以說明補(bǔ)碼運(yùn)算的結(jié)果總是正確的呢？請(qǐng)看下面的例子：
例如：
        85 + 44 = ？
                      0 1 0 1 0 1 0 1
                    +  0 0 1 0 1 1 0 0
                ———————————
                          1 0 0 0 0 0 0 1
                    從結(jié)果的符號(hào)位可以看出，結(jié)果是一負(fù)數(shù)。但兩個(gè)整數(shù)相加不可能是負(fù)數(shù)，問題出在什么地方呢？原來這是由于"溢出"造成的，即結(jié)果超出了一定位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)所能表示的數(shù)的范圍。

            以上內(nèi)容節(jié)選自清華大學(xué)出版社《C++語言程序設(shè)計(jì)（第4版）》

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