Hashingtoellipticcurve算法改進-創(chuàng)新互聯(lián)

1. 引言

前序博客有：

創(chuàng)新互聯(lián)服務項目包括齊河網(wǎng)站建設、齊河網(wǎng)站制作、齊河網(wǎng)頁制作以及齊河網(wǎng)絡營銷策劃等。多年來，我們專注于互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)，利用自身積累的技術(shù)優(yōu)勢、行業(yè)經(jīng)驗、深度合作伙伴關(guān)系等，向廣大中小型企業(yè)、政府機構(gòu)等提供互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的解決方案，齊河網(wǎng)站推廣取得了明顯的社會效益與經(jīng)濟效益。目前，我們服務的客戶以成都為中心已經(jīng)輻射到齊河省份的部分城市，未來相信會繼續(xù)擴大服務區(qū)域并繼續(xù)獲得客戶的支持與信任！
  • ECDSA VS Schnorr signature VS BLS signature 第3節(jié)“BLS簽名”

私鑰 p k pk pk，對應的公鑰為 P = p k × G P=pk\times G P=pk×G。待簽名消息 m m m。
BLS signature的簽名流程為：

  • 1）通過 H ( m ) H(m) H(m)將消息 m m m映射為point on the curve， G m = H ( m ) G_m=H(m) Gm?=H(m)。
  • 2）將私鑰與 H ( m ) H(m) H(m)相乘， S = p k × H ( m ) S=pk\times H(m) S=pk×H(m)， S S S即為相應的簽名。

BLS signature is just one single point on the curve that takes only 33bytes in compressed serialization format。
具體如下圖示意：
在這里插入圖片描述
BLS的驗簽流程為：

  • 1）通過 H ( m ) H(m) H(m)將消息 m m m映射為point on the curve， G m = H ( m ) G_m=H(m) Gm?=H(m)。
  • 2）驗證 e ( P , H ( m ) ) = e ( G , S ) e(P,H(m))=e(G,S) e(P,H(m))=e(G,S)成立即可。

具有pairing屬性，以上驗簽等式恒成立：
e ( P , H ( m ) ) = e ( p k × G , H ( m ) ) = e ( G , p k × H ( m ) ) = e ( G , S ) e(P,H(m))=e(pk\times G,H(m))=e(G,pk\times H(m))=e(G,S) e(P,H(m))=e(pk×G,H(m))=e(G,pk×H(m))=e(G,S)
具體如下圖示意：
在這里插入圖片描述
整個BLS signature非常簡潔優(yōu)美。

整個BLS簽名算法中，有兩個關(guān)鍵點是：

  • 1）Hashing to the curve：
    ECDSA和Schnorr 簽名過程中，需要使用hash函數(shù)將消息 m m m映射為a number。
    而BLS signature中需要調(diào)整hash算法，將消息 m m m hashes directly to the elliptic curve。
    最簡單的方式是，仍然將消息 m m m通過hash函數(shù)映射為a number，然后將該number作為elliptic curve 上point的x坐標。
    Elliptic curves通常有 2 256 2^{256} 2256個points，采用SHA-256算法可以生成256-bit result。
    但是對于 y 2 = x 3 + a x + b y^2=x^3+ax+b y2=x3+ax+b形式的eclliptic curve，相同的x坐標，存在 ( x , y ) 和 ( x , ? y ) (x,y)和(x,-y) (x,y)和(x,?y)兩個point均在curve上的情況。這就意味著借助SHA-256有約50%的概率能找到two points for some x x x，有50%的概率找到point on the curve。
    在這里插入圖片描述
    為了保證對任意的消息 m m m均能hashing to the curve，可以在消息 m m m后面追加數(shù)字，依次嘗試直到能找到相應的curve point。如若 h a s h ( m ∣ ∣ 0 ) hash(m||0) hash(m∣∣0)不能find a point，則依次試 h a s h ( m ∣ ∣ 1 ) , h a s h ( m ∣ ∣ 2 ) hash(m||1),hash(m||2) hash(m∣∣1),hash(m∣∣2)，直到找到point on the curve?！緦τ? ( x , y ) 和 ( x , ? y ) (x,y)和(x,-y) (x,y)和(x,?y)兩個point，實際選擇y坐標值更小的那個point。】（如上圖所示）

  • 2）curve pairing
    BLS signautre要求能夠?qū)ⅲㄏ嗤蛘卟煌ヽurve上的P和Q兩個點映射a number：
    e ( P , Q ) ? n e(P,Q)\mapsto n e(P,Q)?n
    同時，應滿足如下屬性：（使得secret number x x x unreveal。）
    e ( x × P , Q ) = e ( P , x × Q ) e(x\times P,Q)=e(P,x\times Q) e(x×P,Q)=e(P,x×Q)
    更通用的表達為應具有如下屬性：
    e ( a × P , b × Q ) = e ( P , a b × Q ) = e ( a b × P , Q ) = e ( P , Q ) ( a b ) e(a\times P,b\times Q)=e(P,ab\times Q)=e(ab\times P,Q)=e(P,Q)^{(ab)} e(a×P,b×Q)=e(P,ab×Q)=e(ab×P,Q)=e(P,Q)(ab)

Hashing to curve函數(shù) H H H需為：

  • indifferentiable from a random oracle
  • 且為constant-time的

令 F q \mathbb{F}_q Fq?為某有限域， E b : y 2 = x 3 + b E_b: y^2=x^3+b Eb?:y2=x3+b為某ordinary橢圓曲線（即，non-supersingular橢圓曲線），其 j j j-invariant為0，同時滿足 b ∈ F q \sqrt\in\mathbb{F}_q b ?∈Fq?以及 q ≡? 1 ( m o d ?? 27 ) q\not\equiv 1(\mod 27) q?≡1(mod27)。
當前最快的constant-time indifferentiable hashing to E b ( F q ) E_b(\mathbb{F}_q) Eb?(Fq?)算法需要：

  • 基于 F q \mathbb{F}_q Fq?的2次exponentiation運算【以BLS12-377為例，其基于highly 2-adic有限域，相應的indifferentiable Wahby-Boneh hash函數(shù)需要應用2次 slow Tonelli-Shanks algorithm算法來提取基域的2個平方根。】

在Dmitrii Koshelev 2021年論文 Indifferentiable hashing to ordinary elliptic F q \mathbb{F}_q Fq?-curves of j = 0 j = 0 j=0 with the cost of one exponentiation in F q \mathbb{F}_q Fq? 論文中，所實現(xiàn)的constant-time indifferentiable hashing to E b ( F q ) E_b(\mathbb{F}_q) Eb?(Fq?)算法：

  • 僅需要1次exponentiation運算?！救砸訠LS12-377為例，僅需要提取1次立方根，可 以有限域內(nèi)的1次exponentiation運算來表示。】

開源實現(xiàn)見：

  • https://github.com/dishport/Indifferentiable-hashing-to-ordinary-elliptic-curves-of-j-0-with-the-cost-of-one-exponentiation（Sage腳本）
  • https://github.com/zhenfeizhang/indifferentiable-hashing（Rust，但非constant-time實現(xiàn)）

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本文標題：Hashingtoellipticcurve算法改進-創(chuàng)新互聯(lián)
當前URL：http://muchs.cn/article4/ceehoe.html

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