仿射函數(shù)python 仿射函數(shù)例題

入基變量可以是負(fù)數(shù)嗎?

一般模型既有不等式約束，也有等式約束；既有非負(fù)的約束決策變量，也有整個實數(shù)域上的自由決策變量。

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標(biāo)準(zhǔn)模型

引入冗余的決策變量，使得不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束。這里的每個決策變量都具有非負(fù)性。

在這里插入圖片描述

把上述模型用矩陣表示就是

m i n ( o r m a x ) C T X s . t A X = b ? X ≥ 0 min(or\ max) C^TX\\ s.t \ AX=\vec\\ \ X \geq 0

min(or max)C

T

X

s.t AX=

b

X≥0

線性規(guī)劃問題的基本假設(shè)

系數(shù)矩陣A的行向量線性無關(guān)。

如果線性相關(guān)有2種可能，要么是增廣矩陣的該行也線性相關(guān)，則該行約束冗余，可以刪去。要么增廣矩陣的該行線性無關(guān)，則方程無解，優(yōu)化問題不存在。

系數(shù)矩陣A的行數(shù)小于列數(shù)

如果行數(shù)m大于列數(shù)n，則行向量是m個n維向量，不可能線性無關(guān)。吐過行數(shù)等于列數(shù)，且行向量線性無關(guān)，則約束條件確定了唯一解，無需優(yōu)化。

一般模型與標(biāo)準(zhǔn)模型的轉(zhuǎn)化

主要方式是增加決策變量。有兩種情況需要增加

不等式變等式，每個不等式增加一個決策變量。

1個自由決策變量轉(zhuǎn)化為2個約束的決策變量。

在這里插入圖片描述

線性規(guī)劃問題解的可能情況

唯一最優(yōu)解

沒有有限的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)

沒有可行解

無窮多的最優(yōu)解（一維問題中不會出現(xiàn)）

凸集

Def. 凸集：該集合中任意兩個元素的凸組合仍然屬于該集合。

在這里插入圖片描述

注：此處的α \alphaα不能是0或1。

Thm. 線性規(guī)劃的多面體模型是凸集。

Def. 凸集的頂點：頂點無法表示成集合中其他元素的凸組合。

在這里插入圖片描述

頂點的等價描述

從系數(shù)矩陣中抽取m列線性無關(guān)的列向量，組成可逆方陣。則由此可求得m個決策變量的值，再令其余的決策變量為0即可。

推論

頂點中正分量對應(yīng)的系數(shù)向量線性無關(guān)。

一個線性規(guī)劃問題標(biāo)準(zhǔn)模型最多有C n m C_{n}^{m}C

n

m

個頂點。

定義總結(jié)

基矩陣§：系數(shù)矩陣中抽取m列線性無關(guān)的列向量組成可逆方陣。

基本解：m個基變量有基矩陣和b ? \vec

b

決定，剩余(n-m)個變量都置0，稱之為非基變量。

基本可行解（頂點）：基本解中可行的，即滿足非負(fù)性約束

Thm. 線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)模型的基本可行解就是可行集的頂點。

Thm. 標(biāo)準(zhǔn)模型的線性規(guī)劃問題如有可行解，則定有基本可行解。

Thm. 線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)模型中頂點的個數(shù)是有限的。

Thm. 線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)模型的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值如果有有限的目標(biāo)函數(shù)值，則總在頂點處取到。

單純形法

在頂點中沿著邊搜索最優(yōu)解的過程。

按照上述的原理，我們固然可以求出所有的基矩陣，進入求出所有的頂點。計算每一個頂點的目標(biāo)函數(shù)值，找出其中最大的那個，但是這樣做的計算量未免太大，因此有了單純行法，即沿著邊搜索頂點。

在這里插入圖片描述

單純形法就是一個不斷的選擇變量入基出基的過程。

假定已知一個基本可行解。（問題4）

如何計算選定進基變量后的基本可行解。(問題1）

如何選擇進基變量使得目標(biāo)函數(shù)值改善。（問題2）

如何判斷已經(jīng)找到最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值。（問題3）

計算選定進基變量的基本可行解

Def. 基本可行解的表示式：基變量只出現(xiàn)在一個等式約束中。如：

在這里插入圖片描述

此處的x 3 , x 4 , x 5 x_3,x_4,x_5x

3

,x

4

,x

5

就是基變量。

選定出基變量：保可行性的最小非負(fù)比值原理

由上所述，一個頂點對應(yīng)一個基本可行解，其中m個基變量，(n-m)個非基變量。假定我們要選擇某個非基變量x i x_ix

i

入基，實際上就是通過對增廣矩陣做初等行變化使得x i x_ix

i

僅僅出現(xiàn)在一個等式約束中。比如我們通過變換，使得x i x_ix

i

僅僅出現(xiàn)在第j個等式約束中，如果此時仍然滿足可行性，那么x i x_ix

i

就取代了原來在此處的基變量，成為新的基變量。

在進行初等行變換的過程中，要保證可行性，即

b ? ≥ 0 \vec \geq 0

b

≥0

。因此要選擇最小非負(fù)比值。請看下面的例子：

在這里插入圖片描述

假設(shè)我們要選擇x 2 x_2x

2

入基，那么就是要通過初等行變換，使得x 2 x_2x

2

的系數(shù)向量中某一行是1，其余行都是0。如我們選擇x 2 x_2x

2

僅出現(xiàn)在第3個等式約束中，即

在這里插入圖片描述

則此時無法保證可行性，因為b ? \vec

b

中第1個分量是負(fù)數(shù)。

為了避免等式右側(cè)出現(xiàn)負(fù)數(shù)，只能選擇比值最小的一行，即第1行。即化成如下的形式：

在這里插入圖片描述

如果此時我們想讓x 3 x_3x

3

入基，此時的最小比值是第2行，即讓該行為1，其余行為0。但是，為了讓x 3 x_3x

3

的第二行為1，該行兩端必須同時乘以一個負(fù)數(shù)，此時仍然無法保證b ? ≥ 0 \vec \geq0

b

≥0，因此只能選擇系數(shù)非負(fù)的一行。

注：這里的非負(fù)性是指系數(shù)非負(fù)，而不是比值非負(fù)。即當(dāng)b中某行分量是0，而該行入基變量系數(shù)是負(fù)數(shù)，仍不能入基。

在這里插入圖片描述

特殊情況：沒有非負(fù)比值，即沒有有限的目標(biāo)函數(shù)值。

在這里插入圖片描述

選擇入基變量的原則

選擇某個入基變量使得目標(biāo)函數(shù)能改善，通過檢驗數(shù)選擇。

此處假設(shè)優(yōu)化目標(biāo)是求最大值。通過等式約束，將目標(biāo)函數(shù)表示成非基變量的線性組合。即

f ( X ) = c 1 x j ( m + 1 ) + c 2 x j ( m + 2 ) + . . . + c n x j ( n ) + c o n s t f(X)=c_1x_{j(m+1)}+c_2x_{j(m+2)}+...+c_nx_{j(n)}+const

f(X)=c

1

x

j(m+1)

+c

2

x

j(m+2)

+...+c

n

x

j(n)

+const

只有選擇檢驗數(shù)是正數(shù)的變量入基才有可能使得目標(biāo)函數(shù)繼續(xù)增大，因為入基之后變量只可能增大或者不變，而不可能減少。

如何確定已經(jīng)找到了最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值

此處假設(shè)優(yōu)化目標(biāo)是求最大值。

當(dāng)每個非基變量的檢驗數(shù)都是負(fù)數(shù)時，目標(biāo)函數(shù)已經(jīng)達(dá)到了最大值。

退化情況

Thm. 收斂條件：每次迭代過程中，每個基本可行解的基變量都嚴(yán)格大于0，則每次迭代都能保證目標(biāo)函數(shù)嚴(yán)格增加。而基本可行解的數(shù)目是有限的，因此上述過程不會一直進行下去，因此一定能在有限次迭代過程中找到最優(yōu)解。

Def. 退化情況：某些基變量是0。則多個基矩陣對應(yīng)同一個退化的頂點。

Thm. 循環(huán)迭代導(dǎo)致不收斂：多個基矩陣對應(yīng)一個頂點，即每次出基入基都換了基矩陣，但是對應(yīng)的退化頂點不變，即目標(biāo)函數(shù)也不變。因此可能出現(xiàn)在幾個基矩陣之間循環(huán)不止的情況。

避免退化：由于頂點的個數(shù)是有限的，我們只需標(biāo)記那些已經(jīng)迭代過的頂點，即可避免循環(huán)。

**bland法則：**始終選擇下標(biāo)最小的可入基和出基的變量。

當(dāng)所有的基變量都嚴(yán)格大于0時，則這個基矩陣對應(yīng)于非退化的頂點，此時可行基矩陣和頂點是一一對應(yīng)的；

當(dāng)某些基變量為0時，則這個基矩陣對應(yīng)退化的頂點，一個退化的頂點對應(yīng)數(shù)個可行基矩陣。

即給定一個可行基矩陣，一定能確定一個頂點，但是給定一個頂點時，其對應(yīng)的基矩陣可能不唯一。

更一般地說，當(dāng)頂點非退化時，可行基矩陣唯一；否則可行基矩陣不唯一。

如何確定初始的基本可行解

先將一般模型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)模型，然后添加人工變量，在迭代過程中將人工變量都變成非基變量，則基變量就只剩下原來的變量。

在這里插入圖片描述

大M法在這里插入圖片描述

兩階段法

在這里插入圖片描述

例題

本質(zhì)就是不斷的迭代單純型表

在這里插入圖片描述

在這里插入圖片描述

一般線性規(guī)劃問題總結(jié)

一般模型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型

在這里插入圖片描述

在這里插入圖片描述

在這里插入圖片描述

在這里插入圖片描述

在這里插入圖片描述

在這里插入圖片描述

在這里插入圖片描述

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基于單純型表迭代的實質(zhì)

求出非基變量的檢驗數(shù)

σ j ( k ) = c j ( k ) ? C B T B ? 1 P j ( k ) m + 1 ≤ k ≤ n \sigma_{j(k)}=c_{j(k)}-C_{B}^{T}B^{-1}P_{j(k)}\ m+1 \leq k \leq n

σ

j(k)

=c

j(k)

?C

B

T

B

?1

P

j(k)

m+1≤k≤n

確定進基變量

σ j ( t ) = m a x { σ j ( m + 1 ) , σ j ( m + 2 ) , . . . σ j ( n ) } \sigma_{j(t)} = max\{\sigma_{j(m+1)},\sigma_{j(m+2)},...\sigma_{j(n)}\}

σ

j(t)

=max{σ

j(m+1)

,σ

j(m+2)

,...σ

j(n)

}

確定出基變量

在這里插入圖片描述

得到新的可行基矩陣

在這里插入圖片描述

基于逆矩陣的單純形法

在這里插入圖片描述

核心問題：如何基于B ? 1 B^{-1}B

?1

計算出B ? 1 ~ \tilde{B^{-1}}

B

?1

~

。這兩個矩陣僅僅有1列不一樣，這是一個線性代數(shù)問題，與本課程的主要內(nèi)容無關(guān)，此處不再贅述。

總結(jié)：單純形法中可能遇到的3中特殊情況。

1. 退化問題：某些基變量為0

退化問題的現(xiàn)象是某些基變量為0，本質(zhì)是一個退化的頂點對應(yīng)多個可行基矩陣，后果是可能使得單純形法不收斂。

在選擇入基變量時，應(yīng)該遵循blend法則，即每次選擇可入基變量下標(biāo)最小的那個。

2. 沒有最小非負(fù)比值。

當(dāng)選定入基變量后，需要根據(jù)“保證可行性的最小非負(fù)比值原理”選定出基變量，如果沒有非負(fù)比值，則說明該變量可以趨于無窮，則該問題沒有有限的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。

3. 某個非基變量的檢驗數(shù)為0.

在選擇入基變量時，需要將目標(biāo)函數(shù)表示成非基變量的表達(dá)式。以目標(biāo)值是求最大問題的為例，此時應(yīng)該選擇檢驗數(shù)大于0的非基變量入基才能改善目標(biāo)函數(shù)值。

當(dāng)所有非基變量的檢驗數(shù)都為小于等于0的時候，無論選擇誰入基，都會值得目標(biāo)函數(shù)變得更差，因此這時候就達(dá)到了最優(yōu)條件。

有一種特殊情況是某個非基變量的檢驗數(shù)為0，如果選取該變量入基，則目標(biāo)函數(shù)值和原來一樣，但是我們得到另一組不同的基本可行解，即最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值對應(yīng)了多個基本可行解，這說明原問題有無窮多最優(yōu)解。

4. 退化問題和非基變量檢驗數(shù)為0.

前者是一個頂點對應(yīng)多個可行基矩陣，后者是最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值對應(yīng)多個頂點。

前者可能導(dǎo)致單純形法不收斂，后者說明該問題有無窮多解。

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【線性規(guī)劃】基本概念

線性規(guī)劃的概念 線性規(guī)劃(Linear Programming 簡記 LP)是了運籌學(xué)中數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個重要分支。自從 1947 年 G. B. Dantzig 提出 求解線性規(guī)劃的單純形法以來，線性規(guī)劃在理論上趨向成熟，在實用中由于計算機能處理成千上萬個約束條件和決策變量的線性規(guī)劃問題之后，線性規(guī)劃現(xiàn)代管理中經(jīng)常采用的基本方法之一。 在解決實際問題時，需要把問題歸結(jié)成一個線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，關(guān)鍵及難點在于選適當(dāng)?shù)臎Q策變量建立恰當(dāng)?shù)哪Ｐ?，這直接影響到問題的求解。 線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)及約束條件均為線性函數(shù)；約

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【運籌學(xué)】什么是基變量？對于線性規(guī)劃問題中“基”概念的理解（3月3日學(xué)習(xí)筆記）

在學(xué)習(xí)《線性規(guī)劃與目標(biāo)規(guī)劃》的過程中，課程的主講老師郭韌給出了對于基概念的定義如下圖 圖片來源:運籌學(xué)（中國大學(xué)mooc網(wǎng)） 由此我產(chǎn)生了幾個疑惑:1.如何理解B是線性規(guī)劃問題的一個基？2.為什么說最多有CnmC_n^mCnm個基呢？ 1.如何理解B是線性規(guī)劃問題的一個基？1.如何理解B是線性規(guī)劃問題的一個基？1.如何理解B是線性規(guī)劃問題的一個基？ 在回答第一個...

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【運籌學(xué)】線性規(guī)劃 最優(yōu)解分析 ( 唯一最優(yōu)解 | 無窮多最優(yōu)解 | 無界解 | 無可行解 | 迭代范圍 | 求解步驟 )

一、唯一最優(yōu)解、 二、無窮多最優(yōu)解、 三、無界解、 四、無可行解、 五、線性規(guī)劃迭代范圍、 六、線性規(guī)劃求解步驟

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線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃的求解

單純形法求解線性規(guī)劃 一、大M法求解線性規(guī)劃的原理 （1）、大M法首先將線性規(guī)劃問題化為標(biāo)準(zhǔn)型。如果約束方程組中包含有一個單位矩陣I，那么已經(jīng)得到了一個初始可行基。否則在約束方程組的左邊加上若千個非負(fù)的人工變量，使人工變量對應(yīng)的系數(shù)列向量與其它變量的系數(shù)列向量共同構(gòu)成-一個單位矩陣。以單位矩陣為初始基，即可求得一-個初始的基本可行解。 為了求得原問題的初始基本可行解，必須盡快通過迭代過程把人工變量...

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熱門推薦 線性規(guī)劃算法詳解

線性規(guī)劃 首先什么是線性規(guī)劃，大致的定義我總結(jié)為在線性的目標(biāo)和約束中，找出一個最優(yōu)解。 舉個例子： M1和M2兩種原料用于生產(chǎn)內(nèi)外墻涂料，M1日最大可用量24噸，M2日最大可用量為6噸，外墻涂料每噸需要6噸M1，1噸M2，內(nèi)墻涂料每噸需要4噸M12，噸M2，外墻涂料每噸利潤5個單位，內(nèi)墻涂料每噸利潤4個單位。且市場需求調(diào)查數(shù)據(jù)得出，內(nèi)墻日需求量不超過外墻的日需求量+1噸，內(nèi)墻最大日需求量為...

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運籌學(xué) —線性規(guī)劃總結(jié)

線性規(guī)劃問題 1. 概述 線性規(guī)劃問題是在一組線性約束下，求資源配置的最大最小值的問題。 直觀的變現(xiàn)是在一個約束條件圍成的區(qū)域上尋找一個點，這個點使得資源配置最優(yōu)化： 2. 線性規(guī)劃的思想 線性規(guī)劃的思路是將不等式轉(zhuǎn)換為等式，最終求得一個滿足等式的解。 下面的約束式必然可以轉(zhuǎn)換為[P|N]*X=B的形式，這里P是線性無關(guān)的M*M的方正。

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最優(yōu)化——退化和某個非基變量檢驗數(shù)為零

文章目錄退化和某個非基變量檢驗數(shù)為零退化問題退化問題的本質(zhì)某個非基變量檢驗數(shù)為零 退化和某個非基變量檢驗數(shù)為零 退化問題 基本可行解的基變量數(shù)值等于0。 退化問題的本質(zhì) 多個可行基陣對應(yīng)于一個基本可行解。 某個非基變量檢驗數(shù)為零 對于求max的線性規(guī)劃問題，如果所有檢驗數(shù)均滿足 則說明已經(jīng)得到最優(yōu)解， 若此時某非基變量的檢驗數(shù)為零 ，則說明該優(yōu)化問題有無窮多最優(yōu)解。 ...

用仿射函數(shù)maketform、imtransform進行圖像的旋轉(zhuǎn)變換

其中maketform中的[0 -1 0; 1 0 0; 0 0 1]是使用到的仿射變換矩陣

然后利用變換矩陣[0 -1 0; 1 0 0; 0 0 1]對I只做一次仿射變換（即[0 -1 0; 1 0 0; 0 0 1]*i），得到了變換結(jié)果矩陣T

Maketform函數(shù)就是利用給定的參量建立變換結(jié)構(gòu)，然后把該變換結(jié)構(gòu)賦給結(jié)構(gòu)體變換，根據(jù)得到的結(jié)構(gòu)體變量T調(diào)用imtransform函數(shù)進行變換。

不懂可追問哦！~~

什么是仿射函數(shù)

仿射函數(shù)即由由1階多項式構(gòu)成的函數(shù)，一般形式為 f (x) = A x + b，這里，A 是一個 m×k 矩陣，x 和 b 都是一個 m 向量，實際上反映了一種從 k 維到 m 維的空間映射關(guān)系。

設(shè)f是一個矢性（值）函數(shù)，若它可以表示為f(x1,x2,…,xn)=A1x1+A2x2+…+Anxn+b，其中Ai可以是標(biāo)量，也可以是矩陣，則稱f是仿射函數(shù)。

其中的特例是，標(biāo)性（值）函數(shù)f(x)=ax+b，其中a、x、b都是標(biāo)量。此時嚴(yán)格講，只有b=0時，仿射函數(shù)才可以叫“線性函數(shù)”（“正比例”關(guān)系）。

就一般情形，函數(shù)f是仿射函數(shù)的充要條件是：對于任意兩組向量x1,x2,…,xn與y1,y2,…,yn，對于任意0=p=1，如果f[px1+(1-p)y1,px2+(1-p)y2,…,pxn+(1-p)yn]==pf(x1,x2,…,xn)+(1-p)f(y1,y2,…,yn)。（“==”表示恒等）

一般稱線性組合“p1x1+p2x2+…+pnxn，其中p1+p2+…+pn=1”為仿射組合；一般稱所有pi=0的仿射組合為凸組合。

其實一般意義上的仿射函數(shù)是一個矩陣函數(shù),如果構(gòu)成一個類似LMI的不等式,可以成為仿射矩陣不等式.

文章名稱：仿射函數(shù)python 仿射函數(shù)例題
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