MATLAB編程與應(yīng)用系列-第3章矩陣運算（1）-創(chuàng)新互聯(lián)

本章將介紹與MATLAB矩陣運算有關(guān)相關(guān)的內(nèi)容。矩陣運算是MATLAB的基礎(chǔ)，是MATLAB強大計算功能的體現(xiàn)。這一章的內(nèi)容可以幫助讀者解決一些學(xué)習(xí)和工作中常遇到的實際問題，讓讀者了解基本的矩陣操作技巧，進而大化地提高MATLAB程序執(zhí)行效率。 本章包括以下內(nèi)容：

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• 矩陣的基本運算
• 矩陣的分解
• 線性方程組的求解
• 稀疏矩陣

3.1 矩陣的基本運算

前一章已經(jīng)介紹過，二維數(shù)組和矩陣在外觀形狀和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上沒有根本的區(qū)別，但是矩陣作為一種數(shù)學(xué)變換，其運算有著嚴格的數(shù)學(xué)規(guī)則。本節(jié)將介紹矩陣的基本運算，內(nèi)容包括基本的四則運算、乘方運算以及各種矩陣函數(shù)的運算等。

###3.1.1 加、減運算
矩陣加、減運算符分別為“+”和“-”。對應(yīng)元素相加、減，即按線性代數(shù)中矩陣的“+”，“-”運算進行。

【例3.1】已知矩陣A、B，分別計算A-B和A+B。
在命令窗口中分別輸入以下兩條語句，生成矩陣A和矩陣B。
>> A=[1 2 3 4; 5 6 3 7; 3 3 2 1]; %使用直接矩陣生成法生成矩陣A和矩陣B
>> B=[3 4 5 6; 6 2 1 4; 9 6 5 3];
①求矩陣A-B，在命令窗口輸入以下內(nèi)容：
>> A-B %求解矩陣減法
運算結(jié)果如下：
ans =<br/>-2 -2 -2 -2<br/>-1 4 2 3<br/>-6 -3 -3 -2
②求矩陣A+B，在命令窗口輸入以下內(nèi)容：
>> A+B %求解矩陣加法
運算結(jié)果如下：
ans =<br/>4 6 8 10<br/>11 8 4 11<br/>12 9 7 4

注意：（1）A和B矩陣必須大小相同才可以進行加減運算。
（2）如果A、B中有一個是標(biāo)量，則該標(biāo)量與矩陣的每個元素進行運算。

###3.1.2 乘法運算
矩陣乘法的運算符為“*”，按線性代數(shù)中矩陣乘法運算進行，即放在前面的矩陣的各行元素分別與放在后面的矩陣的各列元素對應(yīng)相乘并相加。

（1）兩個矩陣相乘

【例3.2】已知矩陣C和D，計算Z=CD。
在命令窗口中分別輸入以下兩條語句，生成矩陣C和矩陣D。
>> C=[2 4 6 8;3 4 5 6;9 6 3 1]; %生成矩陣C和矩陣D
>> D=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;3 6 9];
求Z=CD，在命令窗口輸入以下內(nèi)容：
>> Z=C*D %求解矩陣C和D的乘積
矩陣C和矩陣D相乘后的結(jié)果如下：
Z =<br/>84 120 156<br/>72 102 132<br/>57 78 99

（2）矩陣的數(shù)乘
標(biāo)量與矩陣的乘法運算是標(biāo)量與矩陣中的每一個元素進行相乘的運算。

例如在【例3.2】中求A=2C，在命令窗口輸入以下內(nèi)容：
`>> A=2C<br/>運算結(jié)果如下：<br/>A =
4 8 12 16
6 8 10 12
18 12 6 2`

注意：（1）矩陣相乘的時候，矩陣A的列數(shù)必須等于矩陣B的行數(shù)，除非其中有一個是標(biāo)量。
（2）矩陣乘法運算和數(shù)組的乘法運算不同，數(shù)組的乘法運算符為“.*”，表示數(shù)組A和B中的對應(yīng)元素相乘。A和B數(shù)組必須大小相同，除非其中有一個是標(biāo)量。

###3.1.3 除法運算
在MATLAB中，矩陣除法有兩種運算符“\”和“/”，分別表示矩陣運算左除和右除。如果A或B為非奇異矩陣，則A\B=A^-1B或A/B=AB^-1。其中，A^-1是矩陣A的逆。MATLAB提供了用于求矩陣的逆矩陣的函數(shù)inv，因此可以用inv(A)求矩陣A的逆矩陣。一般情況下，x=a\b是方程ax=b的解，而x=b/a是方程xa=b的解，兩種運算的結(jié)果不相等。

與矩陣的除法運算相類似，數(shù)組也具有除法運算符。運算符“.\”和“./”分別表示數(shù)組運算的左除和右除，表示數(shù)組相應(yīng)元素相除。進行數(shù)組除法運算時兩數(shù)組必須大小相同，除非其中有一個是標(biāo)量。

【例3.3】已知矩陣X1和X2，分別計算X1/X2、X1\X2。
首先在命令窗口中分別輸入以下兩條語句，生成矩陣X1和X2。
>> X1=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
>> X2=eye(3); %生成對角單位陣
①求X1/X2，在命令窗口輸入：
>>X1/X2 %求解矩陣的右除
矩陣X1/X2的運算結(jié)果如下：
ans =<br/>1 2 3<br/>4 5 6<br/>7 8 9
②求X1\X2，在命令窗口輸入：
>>X1\X2 %求解矩陣的左除
矩陣X1\X2的運算結(jié)果如下：
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.<br/>Results may be inaccurate. RCOND = 1.541976e-018.
ans =<br/>1.0e+016 *<br/>-0.4504 0.9007 -0.4504<br/>0.9007 -1.8014 0.9007<br/>-0.4504 0.9007 -0.4504

【例3.4】已知方程組$\begin{cases}
2x_1-x_2+3x_3=5\
3x_1+x_2-5x_3=5\
4x_1-x_2+x_3=9\
\end{cases}
$，用矩陣除法來解線性方程組。

將該方程變換成AX=B的形式，其中，
$\bf{A}=\begin{bmatrix} {2}&{-1}&{3}\ {3}&{1}&{-5}\ {4}&{-1}&{1}\ \end{bmatrix}$,$\bf{B}=\begin{bmatrix} {5}\ {5}\ {9} \end{bmatrix}$，求解過程如下。

首先在命令窗口中輸入矩陣A和矩陣B。
&gt;&gt; A=[2 -1 3; 3 1 -5;<br/>4 -1 1];
&gt;&gt; B=[5;5;9]; %輸入矩陣A和B

然后利用矩陣除法計算方程組的解，在命令窗口輸入以下內(nèi)容：
>> X=A\B %用矩陣除法求解方程組
求解的結(jié)果如下：
X=<br/>2<br/>-1<br/>0

在線性方程組$Ax=B$中，m×n階矩陣A的行數(shù)m表示方程數(shù)，列數(shù)n表示未知數(shù)的個數(shù)。若n=m，$A$為方陣，`A\B＝inv(A)B；若m>n，是最小二乘解，X=inv(A'A)(A'B)；若m<n，則是令X中的n-m個元素為零的一個特殊解，X=inv(A'A)(A'B)`。

###3.1.4 乘方運算
矩陣乘方的運算符為“^”，規(guī)定只有方陣才能進行乘方運算?？煞譃橄铝袔追N情況。
（1）當(dāng)A為方陣，P為大于0的整數(shù)時，$A^p$表示A的P次方，即A自乘P次；P為小于0的整數(shù)時，$A^p$表示A-1的P次方。P為矩陣時不能運算，會出錯。
(2)當(dāng)A為方陣，p為非整數(shù)時，則$A^p=V\begin{bmatrix} {d{11}^p}&{}&{}\ {}&{\ddots}&{}\ {}&{}&{d{nn}^p}\ \end{bmatrix}V^{-1}$,其中，$V$為$A$的特征向量，$\begin{bmatrix} {d{11}}&{}&{}\ {}&{\ddots}&{}\ {}&{}&{d{nn}}\ \end{bmatrix}$為特征值對角矩陣。如果有重根，以上指令不成立。
（3）標(biāo)量的矩陣乘方P^A，標(biāo)量的矩陣乘方定義為$P^A=V\begin{bmatrix} {p^{d{11}}}&{}&{}\ {}&{\ddots}&{}\ {}&{}&{p^{d{nn}}}\ \end{bmatrix}V^{-1}$,式中V，D取自特征值分解AV=AD。
(4)標(biāo)量的數(shù)組乘方P.^A，標(biāo)量的數(shù)組乘方定義為$P.^A=\begin{bmatrix} {p^{a{11}}}&{\cdots}&{p^{a{1n}}}\ {\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\ {p^{a{m1}}}&{\cdots}&{p^{a{mn}}}\ \end{bmatrix}$,數(shù)組乘方A.^P，表示A的每個元素的P次乘方。

【例3.5】已知矩陣$x_1$，分別計算矩陣乘方運算$x_1^2$、$x_1^{-1}$、$2^{x_1}$的值。
在命令輸入窗口中，輸入以下矩陣x1。
>> x1=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
在矩陣x1的基礎(chǔ)上分別進行矩陣的乘方運算，具體如下：
①計算x1^2，在命令窗口中輸入以下內(nèi)容：
>> x1^2
x1^2的運算結(jié)果如下：
ans =<br/>30 36 42<br/>66 81 96<br/>102 126 150
②計算x1^-1，在命令窗口中輸入以下內(nèi)容：
>> x1^-1
x1^-1的運算結(jié)果如下：
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.<br/>Results may be inaccurate. RCOND = 1.541976e-018.
ans =<br/>1.0e+016 *<br/>-0.4504 0.9007 -0.4504<br/>0.9007 -1.8014 0.9007<br/>-0.4504 0.9007 -0.4504
③計算2^x1，在命令窗口中輸入以下內(nèi)容：
>> 2^x1
2^x1的運算結(jié)果如下：
ans =<br/>1.0e+004 *<br/>0.7962 0.9782 1.1603 1.8029 2.2154 2.6276<br/>2.8097 3.4523 4.0950

在例3.5的已知條件基礎(chǔ)上進行數(shù)組的乘方運算，分別計算2.^x1、x1.^x2。
在命令輸入窗口中輸入矩陣x2：
>> x2=eye(3);
①計算2.^x1，在命令窗口中輸入：
>> 2.^x1
結(jié)果如下：
ans =<br/>2 4 8<br/>16 32 64<br/>128 256 512
②計算數(shù)組的乘方x1.^x2，在命令窗口中輸入：
>> x1.^x2
乘方運算的結(jié)果如下：
ans =<br/>1 1 1<br/>1 5 1<br/>1 1 9

作者：德特數(shù)據(jù)
聯(lián)系方式:156204968@qq.com

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