python傅里葉基函數(shù) pytorch傅里葉變換

什么是傅里葉級數(shù) 傅里葉級數(shù)簡介

1、所謂的傅里葉級數(shù)，就是將一個復(fù)雜函數(shù)展開成三角級數(shù)，將復(fù)雜的函數(shù)展開成冪級數(shù)，考慮的是在誤差允許的范圍內(nèi)，通過熟悉的一元多次函數(shù)來研究復(fù)雜函數(shù)的有關(guān)問題。

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2、法國數(shù)學(xué)家傅里葉認(rèn)為，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因?yàn)樗鼈兪钦坏模笫婪Q傅里葉級數(shù)為一種特殊的三角級數(shù)，根據(jù)歐拉公式，三角函數(shù)又能化成指數(shù)形式，也稱傅立葉級數(shù)為一種指數(shù)級數(shù)。

3、法國數(shù)學(xué)家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級數(shù)與多元傅里葉級數(shù)。他首先證明多元三角級數(shù)球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里葉級數(shù)的里斯- 博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級數(shù)曾極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學(xué)物理以及工程中都具有重要的應(yīng)用。

傅里葉解析

傅立葉變換

定義

f(t)滿足傅立葉積分定理?xiàng)l件時，下圖①式的積分運(yùn)算稱為f(t)的傅立葉變換，②式的積分運(yùn)算叫做F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的象函數(shù)，f(t)叫做F(ω)的象原函數(shù)。 應(yīng)用

傅里葉變換在物理學(xué)、電子類學(xué)科、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）。

概要介紹

* 傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的（參見：林家翹、西格爾著《自然科學(xué)中確定性問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)》，科學(xué)出版社，北京。原版書名為 C. C. Lin L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。

* 傅里葉變換屬于諧波分析。

* 傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;

* 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取;

* 卷積定理指出:傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡單的乘積運(yùn)算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;

* 離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速傅里葉變換算法(FFT)).

基本性質(zhì)

線性性質(zhì)

兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和。數(shù)學(xué)描述是：若函數(shù)f \left( x\right )和g \left(x \right)的傅里葉變換\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和 β 為任意常系數(shù)，則\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里葉變換算符\mathcal可經(jīng)歸一化成為么正算符；

頻移性質(zhì)

若函數(shù)f \left( x\right )存在傅里葉變換，則對任意實(shí)數(shù) ω0，函數(shù)f(x) e^{i \omega_ x}也存在傅里葉變換，且有\(zhòng)mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 ) 。式中花體\mathcal是傅里葉變換的作用算子，平體F表示變換的結(jié)果（復(fù)函數(shù)），e 為自然對數(shù)的底，i 為虛數(shù)單位\sqrt；

微分關(guān)系

若函數(shù)f \left( x\right )當(dāng)|x|\rightarrow\infty時的極限為0，而其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的傅里葉變換存在，則有\(zhòng)mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)] ，即導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子 ?6?1 iω 。更一般地，若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0，且\mathcal[f^{(k)}(x)]存在，則\mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f] ，即 k 階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子( ?6?1 iω)k。

卷積特性

若函數(shù)f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上絕對可積，則卷積函數(shù)f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅里葉變換存在，且\mathcal[f*g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] 。卷積性質(zhì)的逆形式為\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)] ，即兩個函數(shù)乘積的傅里葉逆變換等于它們各自的傅里葉逆變換的卷積。

Parseval定理

若函數(shù)f \left( x\right )可積且平方可積，則\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^d\omega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里葉變換。

傅里葉變換的不同變種

連續(xù)傅里葉變換

主條目：連續(xù)傅立葉變換

一般情況下,若“傅立葉變換”一詞的前面未加任何限定語，則指的是“連續(xù)傅里葉變換”?！斑B續(xù)傅里葉變換”將平方可積的函數(shù)f(t) 表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分或級數(shù)形式。

f(t) = \mathcal^[F(\omega)] = \frac{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.

上式其實(shí)表示的是連續(xù)傅里葉變換的逆變換，即將時間域的函數(shù)f(t)表示為頻率域的函數(shù)F(ω)的積分。反過來,其正變換恰好是將頻率域的函數(shù)F(ω)表示為時間域的函數(shù)f(t)的積分形式。一般可稱函數(shù)f(t)為原函數(shù),而稱函數(shù)F(ω)為傅里葉變換的像函數(shù),原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個傅立葉變換對(transform pair)。

一種對連續(xù)傅里葉變換的推廣稱為分?jǐn)?shù)傅里葉變換（Fractional Fourier Transform）。

當(dāng)f(t)為奇函數(shù)(或偶函數(shù))時,其余弦(或正弦)分量將消亡,而可以稱這時的變換為余弦轉(zhuǎn)換(cosine transform) 或 正弦轉(zhuǎn)換(sine transform).

另一個值得注意的性質(zhì)是,當(dāng)f(t) 為純實(shí)函數(shù)時,F(?6?1ω) = F(ω)*成立.

傅里葉級數(shù)

主條目：傅里葉級數(shù)

連續(xù)形式的傅里葉變換其實(shí)是傅里葉級數(shù)的推廣，因?yàn)榉e分其實(shí)是一種極限形式的求和算子而已。對于周期函數(shù)，其傅里葉級數(shù)是存在的：

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^ ,

其中Fn 為復(fù)振幅。對于實(shí)值函數(shù)，函數(shù)的傅里葉級數(shù)可以寫成：

f(x) = \fraca_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],

其中an和bn是實(shí)頻率分量的振幅。

離散時間傅里葉變換

主條目：離散時間傅里葉變換

離散傅里葉變換是離散時間傅里葉變換（DTFT）的特例（有時作為后者的近似）。DTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級數(shù)的逆。

快速傅立葉變換的問題

快速傅氏變換，是離散傅氏變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，對離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。它對傅氏變換的理論并沒有新的發(fā)現(xiàn)，但是對于在計算機(jī)系統(tǒng)或者說數(shù)字系統(tǒng)中應(yīng)用離散傅立葉變換，可以說是進(jìn)了一大步。

設(shè)x(n)為N項(xiàng)的復(fù)數(shù)序列，由DFT變換，任一X（m）的計算都需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法，而一次復(fù)數(shù)乘法等于四次實(shí)數(shù)乘法和兩次實(shí)數(shù)加法，一次復(fù)數(shù)加法等于兩次實(shí)數(shù)加法，即使把一次復(fù)數(shù)乘法和一次復(fù)數(shù)加法定義成一次“運(yùn)算”（四次實(shí)數(shù)乘法和四次實(shí)數(shù)加法），那么求出N項(xiàng)復(fù)數(shù)序列的X（m）, 即N點(diǎn)DFT變換大約就需要N2次運(yùn)算。當(dāng)N=1024點(diǎn)甚至更多的時候，需要N2=1048576次運(yùn)算，在FFT中，利用WN的周期性和對稱性，把一個N項(xiàng)序列（設(shè)N=2k,k為正整數(shù)），分為兩個N/2項(xiàng)的子序列，每個N/2點(diǎn)DFT變換需要（N/2）2次運(yùn)算，再用N次運(yùn)算把兩個N/2點(diǎn)的DFT 變換組合成一個N點(diǎn)的DFT變換。這樣變換以后，總的運(yùn)算次數(shù)就變成N+2（N/2）2=N+N2/2。繼續(xù)上面的例子，N=1024時，總的運(yùn)算次數(shù)就變成了525312次，節(jié)省了大約50%的運(yùn)算量。而如果我們將這種“一分為二”的思想不斷進(jìn)行下去，直到分成兩兩一組的DFT運(yùn)算單元，那么N點(diǎn)的 DFT變換就只需要Nlog2N次的運(yùn)算，N在1024點(diǎn)時，運(yùn)算量僅有10240次，是先前的直接算法的1%，點(diǎn)數(shù)越多，運(yùn)算量的節(jié)約就越大，這就是 FFT的優(yōu)越性.

傅里葉變換（Transformée de Fourier）是一種積分變換。因其基本思想首先由法國學(xué)者傅里葉系統(tǒng)地提出，所以以其名字來命名以示紀(jì)念。

應(yīng)用

傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）。

概要介紹

傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的（參見：林家翹、西格爾著《自然科學(xué)中確定性問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)》，科學(xué)出版社，北京。原版書名為 C. C. Lin L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。

傅里葉變換屬于諧波分析。

傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;

正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取;

卷積定理指出:傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡單的乘積運(yùn)算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;

離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速傅里葉變換算法(FFT)).

傅里葉變換

當(dāng)白色的光經(jīng)過三菱鏡的時候，就會分解成七色光。這就是一種傅里葉變換，將白色光分解成其中顏色的光，逆變換是七色光合成白色光。

光是具有波粒二象性，所以我們可以認(rèn)為光是波，那么，他的函數(shù)就是 , 其中 表示頻率, 每一種顏色的光都是一個正弦波函數(shù)，所以白色光的函數(shù)表示就是:

我們看到的是7色光，而實(shí)際上是無窮多光，所以標(biāo)準(zhǔn)的表達(dá)式:

我們能夠同時聽到各種各樣的聲音，但是，我們的大腦弄將噪音剔除，而聽清楚人的說話聲音。這個過程與七色光是類似的。每一個聲音都是一個波，那么，大腦將聲音分解出來，將自己不想聽的聲波過濾掉，就是濾波，那么，就能夠從混合的聲音中聽清楚想要的聲音了。

前面所說的例子，都涉及到一個操作，就是變換，這種變換就傅里葉變換，將一個函數(shù)分解成若干個函數(shù)的線性組合。

先從傅里葉級數(shù)入手。對于任意一個周期函數(shù) 其周期為 , 其可以分解成如下:

為什么是上面的公式？從幾個方面來解釋, 1. 周期 2. 函數(shù)分解 3. 函數(shù)的基

因?yàn)? 的周期是 , 所以，我們選擇的函數(shù)，需要也是周期是 , 在上面的式子中, 的最小周期是 ， 因?yàn)槠渥钚≈芷谑? ，所以 也是其周期。

例如

通過上面的解釋，我們知道 和 都是滿足周期是 的。

任何一個函數(shù)都能夠分解成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。

因?yàn)?/p>

所以 是奇函數(shù); 同理可以證明 是偶函數(shù)。

在介紹函數(shù)的基，先看看向量基，這是我們熟悉的事情。對于直角坐標(biāo)系任意點(diǎn)

都可以通過兩個基本向量來表示, 分別是 和 , 也就是:

三維的也同樣,

在向量空間，我們將 , 稱作基向量，而任何一個向量都可以通過基向量的線性組合來表示出來。

那么，函數(shù)能否有類似的這樣一組基來表示成函數(shù)基的線性組合呢？如果能夠表示成基的線性組合，那么函數(shù)的分解這個問題也就解決了？

看看向量基具備的特性，然后，我們在仿照來尋找函數(shù)基.

向量滿足正交性。也就是

順便說一下, 其實(shí)代表了兩個向量的相似度，正交基是垂直的所以相似度為0.

根據(jù)向量的正交性，可以推斷出函數(shù)的正交性是滿足

現(xiàn)在來考察 , 為了簡單起見，令 , 考察 區(qū)間, 這樣就是看 與 .

所以與向量的正交性定義是一致的，所以認(rèn)為 與 是正交的。

同樣的方式，可以證明以下是正交的:

所以， 是正交的，這也就是我們看到的傅里葉表達(dá)式，可以通過 這三個正交基來線性組合表達(dá)的方式。

有了函數(shù)正交基的概念，求解系數(shù)就變得非常容易，因?yàn)橄嗷フ坏姆e分為0, 自己與自己正交為 。先求解

為了簡單，我們假設(shè) , 對 兩邊同時乘以正交基 并積分。如下:

所以有

同理也可以推導(dǎo)出

對于 來說，乘以 后做積分即可。

可以看出每一個系數(shù)實(shí)際就是 乘以 其相應(yīng)正交基的積分。

上面是假設(shè) ，那么，去掉這個限制，用 來表示，就是如下:

求 的傅里葉級數(shù)，當(dāng) .

依據(jù)公式，求得:

, ,

所以

令 , 有

所以有:

這么神奇的級數(shù)和。

歐拉公式:

通過歐拉公式，變換得到:

帶入到傅里葉級數(shù)中有:

通過上面的等式，也可以得出:

現(xiàn)在復(fù)數(shù)域上傅里葉變換的表達(dá)式就是:

在這種變化下，正交基是 與 。也就是:

當(dāng) 時,

當(dāng) 時,

所以也是符合符合正交基的定義的。有了正交基，計算 就方便了，兩邊乘以 積分即可。所以有:

前面的計算是假設(shè) , 更通用的公式是:

傅里葉級數(shù)將函數(shù)從時域轉(zhuǎn)換到頻域。我們將傅里葉級數(shù)稍稍變化一下寫法，以向量的形式寫出來。就是:

我們將系數(shù)向量單獨(dú)看，也就是說任何一個函數(shù) , 如果，我們知道了系數(shù)向量也就知道了 , 因?yàn)楹瘮?shù)基的向量都是一樣的，每一個函數(shù)基又是周期函數(shù)，所以頻率就代表了這個函數(shù)基，這樣周期函數(shù)組成的函數(shù)基空間，就是頻域。可以用下面的式子來表達(dá):

是 的 傅里葉級數(shù)變換; 是 的逆變換。如果講 以 為坐標(biāo)系繪制成圖像，就是頻譜。

目前為止，我們使用了兩種變換，分別是實(shí)數(shù)域變換和復(fù)數(shù)域變換，變幻出了不同的系數(shù)。那么，這些系數(shù)有什么含義？

在正弦函數(shù)基變化下，我們知道對于 其中, 是振幅，也就是代表了正弦波的能量。所以不論在哪種分解下，都是能量在不同的維度上的分解。

對于復(fù)數(shù)域上:

其中 表示 的共軛。

所以這些系數(shù)也可以看做是能量。上面的推導(dǎo)，也叫: 帕塞瓦。

前面的傅里葉級數(shù)是基于周期是 的周期函數(shù)變換而來。那么對于非周期函數(shù)如何解決呢？ 可以將其轉(zhuǎn)化成 的函數(shù)來看待。為了方便，我們假設(shè)周期 .

令

將以上帶入 有:

令:

有:

這與傅里葉級數(shù)的形式是一樣的（一個是積分一個是求和）, 是函數(shù)基。 的傅里葉變換就是 , 是 的傅里葉逆變換， 。 就是頻率曲線。

繪制出來是頻譜，那么 就是曲線。

這幅圖很好的說明了這個過程:

, 那么 的傅里葉變換 是什么呢？直接計算:

所以 。這個性質(zhì)在解微分方程的時候，非常方便。

帕塞瓦定理:

卷積的傅里葉變換。 卷積操作的傅里葉變換推導(dǎo):

所以 和 的卷積的傅里葉變換就是， 獨(dú)自傅里葉變換的乘積。

在實(shí)際的情況中，我們很難獲得連續(xù)的值，那么，就通過等間距采樣來獲得信號數(shù)據(jù)。那么，離散的采樣回來的數(shù)據(jù)，如何進(jìn)行傅里葉變換？這就是 離散傅里葉變換 D.F.T。

假設(shè)采樣了 個等間距的點(diǎn), 獲得數(shù)據(jù)是 ，令 , 離散傅里葉變換的表達(dá)式如下:

令 , 就有:

上面的的式子可以寫成矩陣的形式:

這就是離散傅里葉變換。那么，離散傅里葉變換的逆變換如何計算呢？ 就是對變換矩陣 求逆矩陣即可。

到此已經(jīng)將傅里葉級數(shù)，傅里葉變換，離散傅里葉變化 以及 傅里葉變換的卷積相關(guān)性質(zhì)介紹完畢。

文章名稱：python傅里葉基函數(shù) pytorch傅里葉變換
文章分享：http://www.muchs.cn/article8/doejoip.html

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