python開環(huán)傳遞函數(shù) 開環(huán)傳遞函數(shù)怎么求閉環(huán)傳遞函數(shù)

ujson安裝找不到對(duì)應(yīng)版本

您好，很高興為您服務(wù)。

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關(guān)于您提到的ujson安裝問題，我能為您提供一些幫助。首先，您需要確認(rèn)自己的Python版本，因?yàn)閡json的版本與Python版本有關(guān)。如果您的Python版本是2.7，那么您可以使用pip來(lái)安裝ujson，命令如下：pip install ujson。如果您的Python版本是3.x，那么您可以使用pip3來(lái)安裝ujson，命令如下：pip3 install ujson。

此外，您也可以從Python官網(wǎng)上下載ujson的源碼，然后自行編譯安裝。您可以在Python官網(wǎng)上搜索“ujson”，找到ujson的源碼，下載后解壓，然后運(yùn)行python setup.py install來(lái)安裝ujson。

最后，您也可以從第三方網(wǎng)站上下載ujson的安裝包，然后使用pip或pip3來(lái)安裝。您可以在網(wǎng)上搜索“ujson安裝包”，找到相應(yīng)的安裝包，下載后使用pip或pip3來(lái)安裝即可。

總之，您可以根據(jù)自己的需要，選擇以上任意一種方式來(lái)安裝ujson。我希望我的回答能夠幫助您解決您的問題。

Python-os的path模塊函數(shù)大全

在操作文件的時(shí)候，我們肯定是要使用到 os 模塊的，但是 os 模塊里面還有 path 模塊，這個(gè)模塊主要是用來(lái)獲取文件的屬性的。這篇博客來(lái)分享一下 path 模塊的函數(shù)，希望對(duì)學(xué)習(xí) Python 的小伙伴有所幫助。

返回絕對(duì)路徑：

返回文件名：

返回list(多個(gè)路徑)中，所有path共有的最長(zhǎng)的路徑：

返回文件路徑：

路徑存在則返回True,路徑損壞返回False：

路徑存在則返回True,路徑損壞也返回True：

把path中包含的" "和" user"轉(zhuǎn)換成用戶目錄：

根據(jù)環(huán)境變量的值替換path中包含的" {name}"：

返回最近訪問時(shí)間（浮點(diǎn)型秒數(shù)）：

返回最近文件修改時(shí)間：

返回文件 path 創(chuàng)建時(shí)間：

返回文件大小，如果文件不存在就返回錯(cuò)誤：

判斷是否為絕對(duì)路徑：

判斷路徑是否為文件：

判斷路徑是否為目錄：

判斷路徑是否為鏈接：

判斷路徑是否為掛載點(diǎn)：

把目錄和文件名合成一個(gè)路徑：

轉(zhuǎn)換path的大小寫和斜杠：

規(guī)范path字符串形式：

返回path的真實(shí)路徑：

從start開始計(jì)算相對(duì)路徑：

判斷目錄或文件是否相同：

判斷fp1和fp2是否指向同一文件:

判斷stat tuple stat1和stat2是否指向同一個(gè)文件:

把路徑分割成 dirname 和 basename，返回一個(gè)元組:

一般用在 windows 下，返回驅(qū)動(dòng)器名和路徑組成的元組:

分割路徑中的文件名與拓展名:

把路徑分割為加載點(diǎn)與文件:

遍歷path，進(jìn)入每個(gè)目錄都調(diào)用visit函數(shù)，visit函數(shù)必須有3個(gè)參數(shù)(arg, dirname, names)，dirname表示當(dāng)前目錄的目錄名，names代表當(dāng)前目錄下的所有文件名，args則為walk的第三個(gè)參數(shù):

設(shè)置是否支持unicode路徑名:

跟軌跡畫好之后分析是用閉環(huán)傳遞函數(shù)分析嗎

那個(gè)就是上面式子的實(shí)部和虛部分開寫的得到兩個(gè)方程。求頻率w的時(shí)候先利用虛部的方程得到w的值。再帶入實(shí)部的方程中求得k值在時(shí)域分析中已經(jīng)看到，控制系統(tǒng)的性能取決于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，因此，可以根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)研究控制系統(tǒng)性能。但對(duì)于高階系統(tǒng)，采用解析法求取系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程根（閉環(huán)極點(diǎn)）通常是比較困難的，且當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)（如開環(huán)增益）發(fā)生變化時(shí)，又需要重新計(jì)算，這就給系統(tǒng)分析帶來(lái)很大的不便。

1948年，伊萬(wàn)思根據(jù)反饋系統(tǒng)中開、閉環(huán)傳遞函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了求解閉環(huán)特征方程根的比較簡(jiǎn)易的圖解方法，這種方法稱為根軌跡法。因?yàn)楦壽E法直觀形象，所以在控制工程中獲得了廣泛應(yīng)用。根軌跡是當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)（如根軌跡增益）從零變化到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)特征方程的根在S平面上移動(dòng)的軌跡。根軌跡增益K * 是首1形式開環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)應(yīng)的系數(shù)。

在介紹圖解法之前，先用直接求根的方法來(lái)說明根軌跡的含義?？刂葡到y(tǒng)如上圖所示。其開環(huán)傳遞函數(shù)為:利用計(jì)算結(jié)果在S平面上描點(diǎn)并用平滑曲線將其連接，便得到K * （或K）從零變化到無(wú)窮大時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)在S平面上移動(dòng)的軌跡，即根軌跡，如下圖所示。圖中，根軌跡用粗實(shí)線表示，箭頭表示K * （或K）增大時(shí)兩條根軌跡移動(dòng)的方向根軌跡的概念

開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變換到無(wú)窮，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上變化的軌跡。其中某一參數(shù)主要是指根軌跡增益，當(dāng)然也可以是系統(tǒng)中其他的實(shí)參數(shù)。

根軌跡方程

將上式寫為相角及模值條件，根據(jù)這兩個(gè)條件可以完全確定s平面上的根軌跡和根軌跡上的K*值。

根軌跡與系統(tǒng)性能

1 穩(wěn)定性

當(dāng)參數(shù)由零變化到無(wú)窮時(shí)，根軌跡不會(huì)越過虛軸進(jìn)入s右半平面則說明系統(tǒng)對(duì)于所有的K值都是穩(wěn)定的，如果根軌跡越過虛軸進(jìn)入s右半平面，則系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定的狀態(tài)。

2穩(wěn)態(tài)特性

一般情況下，根軌跡圖上標(biāo)注的參數(shù)不是開環(huán)增益而是根軌跡增益，根軌跡增益與穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)之間僅相差一個(gè)比例常數(shù)，

3動(dòng)態(tài)特性

當(dāng)所有閉環(huán)極點(diǎn)都位于實(shí)軸上時(shí)，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)；

當(dāng)極點(diǎn)重合時(shí)，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)；

當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)是衰減振蕩過程，且超調(diào)量將隨著K值的增大而增大。

確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)

當(dāng)根軌跡增益確定時(shí)，傳遞函數(shù)也同時(shí)確定下來(lái)了，那么閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)位置就在根軌跡上確定下來(lái)了，通過位置可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。

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matlab求系統(tǒng)根軌跡和系統(tǒng)增益,控制系統(tǒng)的根軌跡分析

一、根軌跡分析方法的概念所謂根軌跡是指，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無(wú)窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面上的軌跡。一般來(lái)說，這一參數(shù)選作開環(huán)系統(tǒng)的增益K，而在無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。根軌跡分析方法是分析和設(shè)計(jì)線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法，使用十分簡(jiǎn)便。利用它可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行各種性能分析，1．穩(wěn)定性當(dāng)開環(huán)增益K從零到無(wú)窮大變化時(shí)，圖中的根軌跡不會(huì)越過虛軸進(jìn)入右半s平面...

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【自動(dòng)控制原理】根軌跡Root Locus-筆記

重點(diǎn)掌握根的變化規(guī)律。從而設(shè)計(jì)控制器/補(bǔ)償器。“根”——“極點(diǎn)”（一樣的概念）一階系統(tǒng)比如這個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，對(duì)這個(gè)系統(tǒng)施加一個(gè)沖擊u(t)=，的Laplace變換=1。所以系統(tǒng)的輸出為，令s+a=0，得“根”P=-a進(jìn)行Laplace的逆變換，得到這個(gè)系統(tǒng)的時(shí)間函數(shù)，這里的-a就是它的根當(dāng)a0時(shí)，它在時(shí)間軸上的表現(xiàn)為指數(shù)衰減對(duì)于一般的一階系統(tǒng)來(lái)說，如果把它的根在復(fù)平面上(橫軸為實(shí)數(shù),豎軸為虛數(shù))表達(dá)出來(lái)的話，它一定落在實(shí)軸上，如圖一階函數(shù)的。...

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一階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式_古典控制理論（三）根軌跡法（閉環(huán)系統(tǒng)）

1 根軌跡與系統(tǒng)性能（1）定義：指系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無(wú)窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根（閉環(huán)極點(diǎn)）在s平面上變化的軌跡。 Matlab命令：rlocus(sys)，默認(rèn)變化參數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)的增益k。（2）功能：根軌跡可以直接給出閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)間相應(yīng)的全部信息，而且可以指明開環(huán)零、極點(diǎn)應(yīng)該如何變化才能滿足給定的閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求。根軌跡方法可以求解高階代數(shù)方程的根，實(shí)際上就是解決閉環(huán)特征方程...

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傳遞函數(shù)根軌跡

根軌跡以及時(shí)域響應(yīng)，自動(dòng)控制，各個(gè)方面的自動(dòng)控制都有用，直接出根軌跡

Simulink模型閉環(huán)傳遞函數(shù)導(dǎo)出及Matlab對(duì)simulink模型進(jìn)行頻域分析(含實(shí)現(xiàn)程序)

Simulink模型閉環(huán)傳遞函數(shù)導(dǎo)出及使用Matlab函數(shù)對(duì)simulink模型進(jìn)行頻域分析，并在文章中給出含實(shí)現(xiàn)程序。

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控制教程 —— 介紹篇：4.根軌跡控制器設(shè)計(jì)

在本教程中，我們將介紹根軌跡，展示如何使用MATLAB來(lái)創(chuàng)建根軌跡，并演示如何通過使用根軌跡來(lái)設(shè)計(jì)滿足某些性能指標(biāo)的反饋控制器。本教程中使用的主要MATLAB命令包括：feedback,rlocus,step,controlSystemDesigner。閉環(huán)極點(diǎn) 開環(huán)傳遞函數(shù) H(s)H(s)H(s) 的根軌跡通常是在比例增益 KKK 在0到 ∞\infty∞ 變化時(shí)，形成的閉環(huán)極點(diǎn)的軌跡曲線...

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根軌跡和頻率響應(yīng)

首先我們來(lái)了解一下根的定義，在一個(gè)閉環(huán)一階系統(tǒng)中，存在過度函數(shù)G(s)為s的一個(gè)式子，那么它可能會(huì)存在零點(diǎn)和極點(diǎn)，說到極點(diǎn)想必大家都非常熟悉了，在此，我們可以理解為“根”=“極點(diǎn)”。根軌跡的畫法呢我簡(jiǎn)單提一下，根軌跡是有開環(huán)極點(diǎn)指向開環(huán)零點(diǎn)，從左向右，兩兩對(duì)應(yīng)，如果缺少對(duì)應(yīng)的，則以無(wú)窮極點(diǎn)/零點(diǎn)代替（舉個(gè)例子，假如只有一個(gè)極點(diǎn)，沒有零點(diǎn)，那么根軌跡就是由這個(gè)極點(diǎn)指向負(fù)無(wú)窮），另外，根軌跡是對(duì)稱于實(shí)軸的，其匯合點(diǎn)和分離點(diǎn)并非重點(diǎn)，感興趣的同學(xué)可以自己搜索一下了解一下。最終可由增益的取值范圍判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。.

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根軌跡和系統(tǒng)參數(shù)的確定

1、根軌跡前面有講到通過閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分布情況來(lái)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。當(dāng)然還有些更簡(jiǎn)單的判別方式，例如：勞斯穩(wěn)定性判據(jù)、赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)等。但都是判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定的，那么怎么判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（穩(wěn)定裕度）呢？或者說當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)參數(shù) ...

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matlab閉環(huán)傳函的根軌跡,自動(dòng)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)--基于根軌跡的串聯(lián)校正設(shè)計(jì)

與頻域法相似，利用根軌跡法進(jìn)行系統(tǒng)的設(shè)計(jì)也有兩種方法：1)常規(guī)方法；2)Matlab方法。Matlab的根軌跡方法允許進(jìn)行可視化設(shè)計(jì)，具有操作簡(jiǎn)單、界面直觀、交互性好、設(shè)計(jì)效率高等優(yōu)點(diǎn)。目前常用的Matlab設(shè)計(jì)方法有：1)直接編程法；2)Matlab控制工具箱提供的強(qiáng)大的Rltool工具；3)第三方提供的應(yīng)用程序，如CTRLLAB等。本節(jié)在給出根軌跡的設(shè)計(jì)思路的基礎(chǔ)上，將重點(diǎn)介紹第一、二種方法。...

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20200518 如何快速畫出閉環(huán)特征方程的根軌跡

Q: 什么是根軌跡法？ A: 給一個(gè)閉環(huán)的特征方程，隨著某一個(gè)參數(shù)變化，閉環(huán)特征方程的根（即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）不斷變化，描述根的變化軌跡的圖叫做根軌跡圖。 Q: 針對(duì)的是開環(huán)系統(tǒng)還是閉環(huán)系統(tǒng)？ A: 利用開環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)研究閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)（根）。 Q: 開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的區(qū)別？ A: 閉環(huán)傳遞函數(shù)是G1+GH\frac{G}{1+GH}1+GHG，開環(huán)傳遞函數(shù)是GHGHGH。 Q: 如何快速近似畫出根軌跡？ A: 首先介紹不著名的異性相吸理論（瞎編的）。 ......

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繪制課本中的根軌跡圖與零極點(diǎn)分布圖

《信號(hào)與系統(tǒng)》第三版下冊(cè)-鄭君里例11-8 已知反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖11-21所示，試?yán)L制其根軌跡圖。這個(gè)圖繪制的是A(s)F(s)的根軌跡圖，并不是整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，也不是A(s)的根軌跡圖這道題的解析部分其實(shí)是為了計(jì)算在橫軸上的交匯點(diǎn)。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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應(yīng)用根軌跡分析系統(tǒng)性能

應(yīng)用根軌跡分析系統(tǒng)性能本節(jié)通過幾個(gè)實(shí)例簡(jiǎn)要介紹根軌跡方法在分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)中的應(yīng)用。 5.3.1 單參數(shù)設(shè)計(jì) 例 5.4: 已知系統(tǒng)的方框圖如下：試通過根軌跡方法確定合適的反饋系數(shù) k ，使得系統(tǒng)具有阻尼比為 0.4 的閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。解：由方框圖可得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

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根軌跡分析

應(yīng)用MATLAB進(jìn)行根軌跡分析

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matlab閉環(huán)傳函的根軌跡,開環(huán)傳遞函數(shù)的跟軌跡與虛軸的交點(diǎn)怎么算

大學(xué)自動(dòng)控制原理,已知開環(huán)傳遞函數(shù)求閉環(huán)根軌跡圖中的一個(gè)步驟不懂計(jì)算(求根軌跡與虛軸的交點(diǎn))一個(gè)復(fù)數(shù)等于0,結(jié)果是實(shí)部等于0虛部等于0,這個(gè)太簡(jiǎn)單了吧再問：詳細(xì)點(diǎn)還是不懂再答：-w^3j-6w^2+9wj+k=0，(-w^3+9w)j+(-6w^2+k)=0，得-w^3+9w=0，-6w^2如何matlab畫開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特圖用MATLAB做出奈奎斯特曲線圖%k=10k=10;d=conv(...

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【自動(dòng)控制原理】根軌跡法之根軌跡法分析系統(tǒng)性能

本文主要講述了使用根軌跡法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的原理，以及根據(jù)根軌跡設(shè)計(jì)參數(shù)Kg的方法步驟。最后給出了主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子對(duì)和開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響

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matlab求系統(tǒng)根軌跡和系統(tǒng)增益,《自動(dòng)控制原理》實(shí)驗(yàn)報(bào)告(線性系統(tǒng)的根軌跡)...

實(shí)驗(yàn)四線性系統(tǒng)的根軌跡一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?.熟悉 MATLAB 用于控制系統(tǒng)中的一些基本編程語(yǔ)句和格式。2.利用 MATLAB 語(yǔ)句繪制系統(tǒng)的根軌跡。3.掌握用根軌跡分析系統(tǒng)性能的圖解方法。4.掌握系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)特征根位置的影響?；A(chǔ)知識(shí)及 MATLAB函數(shù)根軌跡是指系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變到無(wú)窮大時(shí)，特征方程的根在 s 平面上的變化軌跡。這個(gè)參數(shù)一般選為開環(huán)系統(tǒng)的增益 K 。課本中介紹的手工繪制根軌跡的方...

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最新發(fā)布 817自動(dòng)控制原理-1-開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)

首先，開環(huán)傳遞函數(shù)是針對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)而言的，而不是指開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。eg.輸入作用下的開環(huán)傳遞函數(shù)：G（s）=G1H2H3/（1-G2H1）輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)：R(s)/E(s)=（1-G2H2）/（1-G2H2+G1G2H3）

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熱門推薦【自控原理】第四章根軌跡法

文章目錄A 根軌跡法的基本概念B 根軌跡方程C 繪制根軌跡的法則C.a 根軌跡法則介紹C.b 根軌跡法則（常規(guī)根軌跡）D 利用根軌跡分析系統(tǒng)的方法引言閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標(biāo)主要由閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)在復(fù)數(shù)平面上的位置決定。分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)確定閉環(huán)極點(diǎn)（即特征根）在復(fù)平面的位置是十分有意義的: 閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)在復(fù)平面的位置決定了系統(tǒng)的穩(wěn) 定性系統(tǒng)的性能指標(biāo)也主要由閉環(huán)極點(diǎn)的位置決定 ...

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matlab-自控原理 rlocus 根軌跡根據(jù)傳遞函數(shù)畫圖

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根軌跡的概念

根軌跡方程

將上式寫為相角及模值條件，根據(jù)這兩個(gè)條件可以完全確定s平面上的根軌跡和根軌跡上的K*值。

根軌跡與系統(tǒng)性能

1 穩(wěn)定性

2穩(wěn)態(tài)特性

3動(dòng)態(tài)特性

當(dāng)所有閉環(huán)極點(diǎn)都位于實(shí)軸上時(shí)，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)；

當(dāng)極點(diǎn)重合時(shí)，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)；

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傳遞函數(shù)根軌跡

根軌跡以及時(shí)域響應(yīng)，自動(dòng)控制，各個(gè)方面的自動(dòng)控制都有用，直接出根軌跡

Simulink模型閉環(huán)傳遞函數(shù)導(dǎo)出及Matlab對(duì)simulink模型進(jìn)行頻域分析(含實(shí)現(xiàn)程序)

Simulink模型閉環(huán)傳遞函數(shù)導(dǎo)出及使用Matlab函數(shù)對(duì)simulink模型進(jìn)行頻域分析，并在文章中給出含實(shí)現(xiàn)程序。

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python如何傳遞給c++一個(gè)結(jié)構(gòu)體指針？前提是swig封裝的C++函數(shù)，請(qǐng)寫出代

在封裝的代碼間傳遞指針你要確保他們運(yùn)行在相同的地址空間里，還要保證指針指向的內(nèi)存的生存期是安全的，否則這種思路就是錯(cuò)誤的。實(shí)現(xiàn)方法舉例如下：

1、定義了C

結(jié)構(gòu)體和函數(shù)如下

typedef

struct

NameAge

{

char

name[20];

int

age;

}NameAge

*NameAgePointer;

void

test(NameAgePointer

接收結(jié)構(gòu)體指針

{

something

with

p...

}

2、python定義結(jié)構(gòu)體如下

#python中結(jié)構(gòu)體定義

class

PyStruct():

def

__init__(self,

name,

age):

self.name

name

self.age

age

fred

PyStruct("fred",

3、假設(shè)把第1步里的test封裝成example模塊，python導(dǎo)入example（既然你都會(huì)swig了，這個(gè)過程就不啰嗦了）

import

example

example.test(pointer(fred))

以上是基本思路，因?yàn)榇罱ㄩ_發(fā)環(huán)境和過程比較繁雜，沒有驗(yàn)證過，但是應(yīng)該沒有大問題

如何用Python編寫一個(gè)素?cái)?shù)環(huán)

此文主要目的，是向大家展示如何才能用python語(yǔ)言，來(lái)部署STARK算法。

STARKs（可擴(kuò)容的透明知識(shí)論證）是創(chuàng)建一種證明的技術(shù)，這項(xiàng)證明中f(x)=y，其中f可能要花很長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)進(jìn)行計(jì)算，但是這個(gè)證明可以被很快驗(yàn)證。STARK是“雙重?cái)U(kuò)容”：對(duì)于一個(gè)需要t步驟的計(jì)算，這會(huì)花費(fèi)大約O(t * log(t))步驟才能完成這個(gè)證明，這可能是最優(yōu)的情況，而且這需要通過~O(log2(t))個(gè)步驟才能驗(yàn)證，對(duì)于中等大小的T值，它比原始計(jì)算快得多。STARKs也擁有隱私保護(hù)的“零知識(shí)證明”的特性，雖然我們將這類使用案例應(yīng)用到其中，從而完成可驗(yàn)證的延遲功能，不需要這類性質(zhì)，所以我們不用擔(dān)心。

首先，先請(qǐng)幾項(xiàng)說明：

這個(gè)代碼還沒有完全審核；在實(shí)際使用案例中的情況，還不能保證

這部分代碼是還沒有達(dá)到理想狀態(tài)（是用Python語(yǔ)言寫的）

STARKs 的“真實(shí)情況” 傾向于使用二進(jìn)制字段而不是素?cái)?shù)域的特定應(yīng)用程序效率的原因；但是，他們確實(shí)也表現(xiàn)出，這里寫出的代碼是合法并且可用的。

沒有一個(gè)真實(shí)的方法來(lái)使用STARK。它是一個(gè)非常寬泛的加密和數(shù)學(xué)架構(gòu)，同時(shí)為不同的應(yīng)用有不同的設(shè)置，以及連續(xù)的研究來(lái)減少證明者和驗(yàn)證者的復(fù)雜性，同時(shí)提高可用性。

此文希望大家能夠知道，模運(yùn)算和素?cái)?shù)域是如何運(yùn)行的，

并且和多項(xiàng)式概念，插值和估值進(jìn)行結(jié)合。

現(xiàn)在，讓我們一起來(lái)了解吧！

MIMC

下面是STARK的功能展示：

def mimc(inp, steps, round_constants): start_time = time.time() for i in range(steps-1): inp = (inp**3 + round_constants[i % len(round_constants)]) % modulus print("MIMC computed in %.4f sec" % (time.time() - start_time)) return inp

我們選擇MIMC作為案例，因?yàn)樗╥）很容易理解，（ii）在真實(shí)世界使用的很多。函數(shù)功能見下圖：

注意：在很多關(guān)于MIMC的討論中，你可以典型地看出使用了XOR，而不是+；這是因?yàn)镸IMC可以在二進(jìn)制情況下使用，其中添加是XOR；這里我們會(huì)在素?cái)?shù)領(lǐng)域進(jìn)行。

在我們的案例中，常數(shù)相對(duì)而言會(huì)是比較小的列表（例如，64位），這會(huì)一直連續(xù)地進(jìn)行周期循環(huán)（也就說，在k[64]之后）。MIMC自身可以獲得這個(gè)特性，因?yàn)镸IMC可以向后進(jìn)行計(jì)算（從相應(yīng)的輸出獲得輸入），但是往后計(jì)算需要比向前計(jì)算多花費(fèi)100倍的時(shí)間（并且沒有方向可以同步進(jìn)行）。所以你可以將往后計(jì)算的功能想象成計(jì)算不能同步的工作量證明，并且往前方向計(jì)算的功能可以作為驗(yàn)證的過程。

x - x(2p-1)/3 是x - x3 的反函數(shù)；根據(jù)費(fèi)馬小定理，這是真實(shí)的，盡管這個(gè)定理沒有費(fèi)馬大定理出名，但是依然對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)很大。

我們嘗試使用STARK來(lái)進(jìn)行更加有效的驗(yàn)證，而不是讓驗(yàn)證者必須在向前方向運(yùn)行MIMC，在完成向后計(jì)算之后，證明者可以在向前方向進(jìn)行STARK計(jì)算，并且驗(yàn)證者可以很簡(jiǎn)單地驗(yàn)證STARK。我們希望計(jì)算STARK可以比MIMC向前和向后之間的運(yùn)行速度差別要小，所以證明者的時(shí)間仍然是有初始的向后計(jì)算來(lái)主導(dǎo)的。而并不是STARK計(jì)算。STARK的認(rèn)證會(huì)相對(duì)較快（在python語(yǔ)言算法中，可以是0.05-0.3秒），不論初始的計(jì)算時(shí)間有多長(zhǎng)。

所有的計(jì)算會(huì)在2256 – 351 * 232 + 1個(gè)模內(nèi)完成；我們使用素?cái)?shù)模，因?yàn)樗切∮?256 最大的素?cái)?shù)，其中乘法群包含了232 個(gè)子集（也就是說，有這樣一個(gè)數(shù)g，從而在完全232次循環(huán)之后，G素?cái)?shù)環(huán)的連續(xù)冪模繞回到1），而且是按照6k+5的形式。首個(gè)特性是保證FFT和FRI算法的有效版本，其次是保證MIMC實(shí)際上可以向后計(jì)算（請(qǐng)見上面提到的x - x(2p-1)/3 使用方法）。

素域操作

我們通過建立方便的等級(jí)來(lái)進(jìn)行素域的操作，同時(shí)也有多項(xiàng)式的操作。代碼如下，收首先是小數(shù)位數(shù)：

class PrimeField(): def __init__(self, modulus): # Quick primality test assert pow(2, modulus, modulus) == 2 self.modulus = modulus def add(self, x, y): return (x+y) % self.modulus def sub(self, x, y): return (x-y) % self.modulus def mul(self, x, y): return (x*y) % self.modulus

并且使用擴(kuò)展歐幾里得算法，來(lái)計(jì)算模塊逆轉(zhuǎn)（這和在素域中計(jì)算1/x相同）：

# Modular inverse using the extended Euclidean algorithm def inv(self, a): if a == 0: return 0 lm, hm = 1, 0 low, high = a % self.modulus, self.modulus while low 1: r = high//low nm, new = hm-lm*r, high-low*r lm, low, hm, high = nm, new, lm, low return lm % self.modulus

上面的算法是相對(duì)昂貴的；幸運(yùn)地是，對(duì)于特定的案例，我們需要做很多的模逆計(jì)算，有一個(gè)數(shù)學(xué)方法可以讓我們來(lái)計(jì)算很多逆運(yùn)算，被稱為蒙哥馬利批量求逆：

使用蒙哥馬利批量求逆來(lái)計(jì)算模逆，其輸入為紫色，輸出為綠色，乘法門為黑色，紅色方塊是唯一的模逆。

下面的代碼是算法的體現(xiàn)，其中包含一些特別的邏輯。如果我們正在求逆的集合中包含零，那么它會(huì)將這些零的逆設(shè)置為 0 并繼續(xù)前進(jìn)。

def multi_inv(self, values): partials = [1] for i in range(len(values)): partials.append(self.mul(partials[-1], values[i] or 1)) inv = self.inv(partials[-1]) outputs = [0] * len(values) for i in range(len(values), 0, -1): outputs[i-1] = self.mul(partials[i-1], inv) if values[i-1] else 0 inv = self.mul(inv, values[i-1] or 1) return outputs

這部分算法接下來(lái)會(huì)驗(yàn)證稱為非常重要的東西，特別是當(dāng)我們開始和不同階的多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候。

現(xiàn)在我們來(lái)看看一些多項(xiàng)式計(jì)算。我們把多項(xiàng)式當(dāng)做一個(gè)數(shù)據(jù)集，其中的i是第i階（例如，x3 + 2x + 1變成[1, 2, 0, 1]）。下面就是在一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式估算的方法：

# Evaluate a polynomial at a point def eval_poly_at(self, p, x): y = 0 power_of_x = 1 for i, p_coeff in enumerate(p): y += power_of_x * p_coeff power_of_x = (power_of_x * x) % self.modulus return y % self.modulus

困難和挑戰(zhàn)

f.eval_poly_at([4, 5, 6], 2)的輸出是多少？模是31嗎？

下面的解釋就是答案

.其實(shí)也有代碼是多項(xiàng)式加法，減法，乘法和除法；這是很長(zhǎng)的加減乘除運(yùn)算。有一個(gè)很重要的內(nèi)容是拉格朗日插值，它將一組 x 和 y 坐標(biāo)作為輸入，并返回通過所有這些點(diǎn)的最小多項(xiàng)式（你可以將其視為多項(xiàng)式求值的逆）：

# Build a polynomial that returns 0 at all specified xs def zpoly(self, xs): root = [1] for x in xs: root.insert(0, 0) for j in range(len(root)-1): root[j] -= root[j+1] * x return [x % self.modulus for x in root] def lagrange_interp(self, xs, ys): # Generate master numerator polynomial, eg. (x - x1) * (x - x2) * ... * (x - xn) root = self.zpoly(xs) # Generate per-value numerator polynomials, eg. for x=x2, # (x - x1) * (x - x3) * ... * (x - xn), by dividing the master # polynomial back by each x coordinate nums = [self.div_polys(root, [-x, 1]) for x in xs] # Generate denominators by evaluating numerator polys at each x denoms = [self.eval_poly_at(nums[i], xs[i]) for i in range(len(xs))] invdenoms = self.multi_inv(denoms) # Generate output polynomial, which is the sum of the per-value numerator # polynomials rescaled to have the right y values b = [0 for y in ys] for i in range(len(xs)): yslice = self.mul(ys[i], invdenoms[i]) for j in range(len(ys)): if nums[i][j] and ys[i]: b[j] += nums[i][j] * yslice return [x % self.modulus for x in b]

相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)請(qǐng)參見此文的M-N部分。需要注意，我們也會(huì)有特別的方法lagrange_interp_4和lagrange_interp_2來(lái)加速次數(shù)小于 2 的拉格朗日插值和次數(shù)小于 4 的多項(xiàng)式運(yùn)算。

快速傅立葉變換

如果你仔細(xì)閱讀上面的算法，你也許會(huì)發(fā)現(xiàn)拉格朗日插值和多點(diǎn)求值（即求在N個(gè)點(diǎn)處次數(shù)小于N的多項(xiàng)式的值）都需要耗費(fèi)2次時(shí)間，例如對(duì)于1000個(gè)點(diǎn)求拉格朗日插值，需要幾百萬(wàn)個(gè)步驟，而且100萬(wàn)個(gè)點(diǎn)的拉格朗日插值需要萬(wàn)億個(gè)步驟。這是不可接受的低效率，所以我們需要使用更加有效的算法，快速傅立葉變換。

FFT只需要花費(fèi)O(n * log(n))的時(shí)間（也就是說，1000個(gè)點(diǎn)的計(jì)算需要10,000步，100萬(wàn)個(gè)點(diǎn)的計(jì)算需要2000步），雖然它的范圍更受限制；x坐標(biāo)必須是單位根部的完全集合，必須滿足N = 2k 階。也就是說，如果有N個(gè)點(diǎn)，那么x坐標(biāo)必須某個(gè)P值的連續(xù)冪，1, p, p2, p3…，其中pN = 1。這個(gè)算法能夠用來(lái)進(jìn)行多點(diǎn)計(jì)算和插值計(jì)算，而且只需要調(diào)整一個(gè)小參數(shù)。

下面就是算法詳情（這是個(gè)簡(jiǎn)單的表達(dá)方式；更詳細(xì)內(nèi)容可以參閱此處代碼）

def fft(vals, modulus, root_of_unity): if len(vals) == 1: return vals L = fft(vals[::2], modulus, pow(root_of_unity, 2, modulus)) R = fft(vals[1::2], modulus, pow(root_of_unity, 2, modulus)) o = [0 for i in vals] for i, (x, y) in enumerate(zip(L, R)): y_times_root = y*pow(root_of_unity, i, modulus) o[i] = (x+y_times_root) % modulus o[i+len(L)] = (x-y_times_root) % modulus return o def inv_fft(vals, modulus, root_of_unity): f = PrimeField(modulus) # Inverse FFT invlen = f.inv(len(vals)) return [(x*invlen) % modulus for x in fft(vals, modulus, f.inv(root_of_unity))]

你可以自己通過一些輸入來(lái)運(yùn)行代碼，并且看看是否能得到想要的結(jié)果，當(dāng)你使用eval_poly_at的時(shí)候，給出你期望得到的答案。例如：

fft.fft([3,1,4,1,5,9,2,6], 337, 85, inv=True) [46, 169, 29, 149, 126, 262, 140, 93] f = poly_utils.PrimeField(337) [f.eval_poly_at([46, 169, 29, 149, 126, 262, 140, 93], f.exp(85, i)) for i in range(8)] [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6]

傅里葉變換會(huì)把[x[0] …. x[n-1]]作為輸入，并且它的目標(biāo)是輸出x[0] + x[1] + … + x[n-1]作為首個(gè)元素，x[0] + x[1] * 2 + … + x[n-1] * w**(n-1)作為第二個(gè)元素，等等；快速傅里葉變換可以通過把數(shù)據(jù)分為兩半，來(lái)完成這個(gè)，在兩邊都進(jìn)行FFT，然后將結(jié)果結(jié)合在一起。

上圖就是信息如何進(jìn)行FFT運(yùn)算的解釋。請(qǐng)注意FFT是如何進(jìn)行兩次數(shù)據(jù)復(fù)制，并且進(jìn)行粘合，直到你得到一個(gè)元素。

現(xiàn)在，我們把所有部分組合起來(lái)，看看整件事情是如何：def mk_mimc_proof(inp, steps, round_constants)，它生成運(yùn)行 MIMC 函數(shù)的執(zhí)行結(jié)果的證明，其中給定的輸入為步驟數(shù)。首先，是一些 assert 函數(shù)：

# Calculate the set of x coordinates xs = get_power_cycle(root_of_unity, modulus) column = [] for i in range(len(xs)//4): x_poly = f.lagrange_interp_4( [xs[i+len(xs)*j//4] for j in range(4)], [values[i+len(values)*j//4] for j in range(4)], ) column.append(f.eval_poly_at(x_poly, special_x))

擴(kuò)展因子是我們將要拉伸的計(jì)算軌跡（執(zhí)行 MIMC 函數(shù)的“中間值”的集合）。

m2 = merkelize(column) # Pseudo-randomly select y indices to sample # (m2[1] is the Merkle root of the column) ys = get_pseudorandom_indices(m2[1], len(column), 40) # Compute the Merkle branches for the values in the polynomial and the column branches = [] for y in ys: branches.append([mk_branch(m2, y)] + [mk_branch(m, y + (len(xs) // 4) * j) for j in range(4)])

我們需要步數(shù)乘以擴(kuò)展因子最多為 2^32，因?yàn)楫?dāng) k 32 時(shí)，我們沒有 2^k 次的單位根。

computational_trace_polynomial = inv_fft(computational_trace, modulus, subroot) p_evaluations = fft(computational_trace_polynomial, modulus, root_of_unity)

我們首個(gè)計(jì)算會(huì)是得出計(jì)算軌跡；也就是說，所有的計(jì)算中間值，從輸入到輸出。

assert steps = 2**32 // extension_factor assert is_a_power_of_2(steps) and is_a_power_of_2(len(round_constants)) assert len(round_constants) steps

然后，我們會(huì)從將計(jì)算軌跡轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式，在單位根 g （其中，g^steps = 1）的連續(xù)冪的軌跡上“放下”連續(xù)值，然后我們對(duì)更大的集合——即單位根 g2 的連續(xù)冪，其中 g2^steps * 8 = 1（注意 g2^8 = g）的多項(xiàng)式求值。

# Generate the computational trace computational_trace = [inp] for i in range(steps-1): computational_trace.append((computational_trace[-1]**3 + round_constants[i % len(round_constants)]) % modulus) output = computational_trace[-1]

黑色： g1 的冪。紫色： g2 的冪。橙色：1。你可以將連續(xù)的單位根看作一個(gè)按這種方式排列的圓圈。我們沿著 g1的冪“放置”計(jì)算軌跡，然后擴(kuò)展它來(lái)計(jì)算在中間值處（即 g2 的冪）的相同多項(xiàng)式的值。

我們可以將MIMC的循環(huán)常數(shù)轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式。因?yàn)檫@些循環(huán)常數(shù)鏈?zhǔn)欠浅Ｍǔ０l(fā)生地（在我們的測(cè)試中，每64個(gè)步驟都會(huì)進(jìn)行），最終證明他們形成了64階的多項(xiàng)式，而且外面可以很容易計(jì)算出它的表達(dá)式，以及擴(kuò)展式：

skips2 = steps // len(round_constants) constants_mini_polynomial = fft(round_constants, modulus, f.exp(subroot, skips2), inv=True) constants_polynomial = [0 if i % skips2 else constants_mini_polynomial[i//skips2] for i in range(steps)] constants_mini_extension = fft(constants_mini_polynomial, modulus, f.exp(root_of_unity, skips2))

假設(shè)其中有8192個(gè)步驟，并且有64個(gè)循環(huán)常數(shù)。這是我們想要做的：我們正在進(jìn)行FFT，從而計(jì)算循環(huán)常數(shù)來(lái)作為g1128 的功能。然后我們?cè)谥g加入很多零，來(lái)完成g1本身的功能。因?yàn)間1128 大約每64步進(jìn)行循環(huán)，我們知道g1這個(gè)功能也會(huì)同樣。我們只計(jì)算這個(gè)擴(kuò)展中的512個(gè)步驟，因?yàn)槲覀冎肋@個(gè)擴(kuò)展會(huì)在每512步之后重復(fù)?，F(xiàn)在，我們按照斐波那契案例中那樣，計(jì)算C(P(x))，除了這次是計(jì)算，需要注意，我們不在計(jì)算使用系數(shù)形式的多項(xiàng)式；而是根據(jù)高次單位根的連續(xù)冪來(lái)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行求值。

c_of_p需要滿足Q(x) = C(P(x), P(g1*x)，K(x)) = P(g1*x) – P(x)**3 – K(x)；目標(biāo)是對(duì)于任何我們放入計(jì)算軌道的x（除了最后一步，因?yàn)樵谧詈笠徊街?，就沒有步驟），計(jì)算軌跡中的下個(gè)數(shù)值就和之前的相等，再加上循環(huán)常量。與第1部分中的斐波那契示例不同，其中如果某個(gè)計(jì)算步驟是在k向量，下個(gè)就會(huì)是k+1向量，我們把低次單位根（ g1 ）的連續(xù)冪放下計(jì)算軌跡，所以如果某個(gè)計(jì)算步驟是在x = g1i ，下個(gè)步驟就會(huì)在g1i+1 = g1i * g1 = x * g1。因此，對(duì)于低階單位根（ g1 ）的每一個(gè)冪，我們希望最終會(huì)是P(x*g1) = P(x)**3 + K(x)，或者P(x*g1) – P(x)**3 – K(x) = Q(x) = 0。因此，Q(x) 會(huì)在低次單位根 g 的所有連續(xù)冪上等于零（除了最后一個(gè)）。

# Create the composed polynomial such that # C(P(x), P(g1*x), K(x)) = P(g1*x) - P(x)**3 - K(x) c_of_p_evaluations = [(p_evaluations[(i+extension_factor)%precision] - f.exp(p_evaluations[i], 3) - constants_mini_extension[i % len(constants_mini_extension)]) % modulus for i in range(precision)] print('Computed C(P, K) polynomial')

有個(gè)代數(shù)定理證明，如果Q(x)在所有這些x坐標(biāo)，都等于零，那么最小多項(xiàng)式的乘積就會(huì)在所有這些x坐標(biāo)等于零：Z(x) = (x – x_1) * (x – x_2) * … * (x – x_n)。通過證明在任何單個(gè)的坐標(biāo)，Q(x)是等于零，我們想要證明這個(gè)很難，因?yàn)轵?yàn)證這樣的證明比運(yùn)行原始計(jì)算需要耗費(fèi)更長(zhǎng)的時(shí)間，我們會(huì)使用一個(gè)間接的方式來(lái)證明Q(x)是Z(x)的乘積。并且我們會(huì)怎么做呢？通過證明D(x) = Q(x) / Z(x)，并且使用FRI來(lái)證明它其實(shí)是個(gè)多項(xiàng)式，而不是個(gè)分?jǐn)?shù)。

我們選擇低次單位根和高次單位根的特定排列，因?yàn)槭聦?shí)證明，計(jì)算Z(x)，而且除以Z(x)也十分簡(jiǎn)單：Z 的表達(dá)式是兩項(xiàng)的一部分。

需要注意地是，直接計(jì)算Z的分子和分母，然后使用批量模逆的方法將除以Z轉(zhuǎn)換為乘法，隨后通過 Z(X) 的逆來(lái)逐點(diǎn)乘以 Q(x) 的值。需要注意，對(duì)于低次單位根的冪，除了最后一個(gè)，都可以得到Z(x) = 0，所以這個(gè)計(jì)算包含其逆計(jì)算就會(huì)中斷。這是非常不幸的，雖然我們會(huì)通過簡(jiǎn)單地修改隨機(jī)檢查和FRI算法來(lái)堵住這個(gè)漏洞，所以就算我們計(jì)算錯(cuò)誤，也沒關(guān)系。

因?yàn)閆(x)可以簡(jiǎn)潔地表達(dá)，我們也可以獲得另個(gè)好處：驗(yàn)證者對(duì)于任何特別的x，可以快速計(jì)算Z(x)，而且還不需要任何提前計(jì)算。對(duì)于證明者來(lái)說，我們可以接受證明者必須處理大小等于步數(shù)的多項(xiàng)式，但我們不想讓驗(yàn)證者做同樣的事情，因?yàn)槲覀兿Ｍ?yàn)證過程足夠簡(jiǎn)潔。

# Compute D(x) = Q(x) / Z(x) # Z(x) = (x^steps - 1) / (x - x_atlast_step) z_num_evaluations = [xs[(i * steps) % precision] - 1 for i in range(precision)] z_num_inv = f.multi_inv(z_num_evaluations) z_den_evaluations = [xs[i] - last_step_position for i in range(precision)] d_evaluations = [cp * zd * zni % modulus for cp, zd, zni in zip(c_of_p_evaluations, z_den_evaluations, z_num_inv)] print('Computed D polynomial')

在幾個(gè)隨機(jī)點(diǎn)上，進(jìn)行概念檢測(cè)D(x) * Z(x) = Q(x)，從而可以驗(yàn)證轉(zhuǎn)賬約束，每個(gè)計(jì)算步驟是之前步驟的有效結(jié)果。但是我們也想驗(yàn)證邊界約束，其中計(jì)算的輸入和輸出就是證明者所說的那樣。只是要求證明者提供P(1), D(1), P(last_step)還有D(last_step)的數(shù)值，這些都是很脆弱的；沒有證明，那些數(shù)值都是在同個(gè)多項(xiàng)式。所以，我們使用類似的多項(xiàng)式除法技巧：

# Compute interpolant of ((1, input), (x_atlast_step, output)) interpolant = f.lagrange_interp_2([1, last_step_position], [inp, output]) i_evaluations = [f.eval_poly_at(interpolant, x) for x in xs] zeropoly2 = f.mul_polys([-1, 1], [-last_step_position, 1]) inv_z2_evaluations = f.multi_inv([f.eval_poly_at(quotient, x) for x in xs]) # B = (P - I) / Z2 b_evaluations = [((p - i) * invq) % modulus for p, i, invq in zip(p_evaluations, i_evaluations, inv_z2_evaluations)] print('Computed B polynomial')

那么，我們的論證如下。證明者想要證明P(1) == input和P(last_step) == output。如果我們將I(x)作為插值，那么就是穿越(1, input)和(last_step, output)亮點(diǎn)的線，于是P(x) – I(x)就會(huì)在這亮點(diǎn)上等于零。因此，它會(huì)證明P(x) – I(x)是P(x) – I(x)的乘積，并且我們通過提高商數(shù)來(lái)證明這點(diǎn)。

紫色：計(jì)算軌跡多項(xiàng)式 (P) 。綠色：插值 (I)（注意插值是如何構(gòu)造的，其在 x = 1 處等于輸入（應(yīng)該是計(jì)算軌跡的第一步），在 x=g^(steps-1) 處等于輸出（應(yīng)該是計(jì)算軌跡的最后一步）。紅色：P-I。黃色：在x = 1和 x=g^(steps-1)（即 Z2）處等于 0 的最小多項(xiàng)式。粉紅色：(P – I) / Z2。

現(xiàn)在，我們來(lái)看看將P，D和B的默克爾根部組合在一起。

現(xiàn)在，我們需要證明P，D和B其實(shí)都是多項(xiàng)式，并且是最大的正確階數(shù)。但是FRI證明是很大且昂貴的，而且我們不想有三個(gè)FRI證明，所以，我們計(jì)算 P，D 和 B 的偽隨機(jī)線性組合，并且基于它來(lái)進(jìn)行FRI證明：

# Compute their Merkle roots mtree = merkelize([pval.to_bytes(32, 'big') + dval.to_bytes(32, 'big') + bval.to_bytes(32, 'big') for pval, dval, bval in zip(p_evaluations, d_evaluations, b_evaluations)]) print('Computed hash root')

除非所有這三個(gè)多項(xiàng)式有正確的低階，不然幾乎不可能有隨機(jī)選擇的線性組合，所以這很足夠。

我們想要證明D的階數(shù)小于2 * steps，而且P 和 B 的次數(shù)小于steps，所以我們其實(shí)使用了隨機(jī)的P, P * xsteps, B, Bsteps 和 D的隨機(jī)組合，并且可以看出這部分組合是小于2 * steps。

現(xiàn)在，我們來(lái)檢查下所有的多項(xiàng)式組合。我們先獲得很多隨機(jī)的索引，然后在這些索引上為默克爾樹枝提供多項(xiàng)式：

k1 = int.from_bytes(blake(mtree[1] + b'\x01'), 'big') k2 = int.from_bytes(blake(mtree[1] + b'\x02'), 'big') k3 = int.from_bytes(blake(mtree[1] + b'\x03'), 'big') k4 = int.from_bytes(blake(mtree[1] + b'\x04'), 'big') # Compute the linear combination. We don't even bother calculating it # in coefficient form; we just compute the evaluations root_of_unity_to_the_steps = f.exp(root_of_unity, steps) powers = [1] for i in range(1, precision): powers.append(powers[-1] * root_of_unity_to_the_steps % modulus) l_evaluations = [(d_evaluations[i] + p_evaluations[i] * k1 + p_evaluations[i] * k2 * powers[i] + b_evaluations[i] * k3 + b_evaluations[i] * powers[i] * k4) % modulus for i in range(precision)]

get_pseudorandom_indices函數(shù)會(huì)回復(fù)[0…precision-1]范圍中的隨機(jī)索引，而且exclude_multiples_of參數(shù)并不會(huì)給出特定參數(shù)倍數(shù)的值。這就保證了，我們不會(huì)沿著原始計(jì)算軌跡進(jìn)行采樣，否則就會(huì)獲得錯(cuò)誤的答案。

證明是由一組默克爾根、經(jīng)過抽查的分支以及隨機(jī)線性組合的低次證明組成：

# Do some spot checks of the Merkle tree at pseudo-random coordinates, excluding # multiples of `extension_factor` branches = [] samples = spot_check_security_factor positions = get_pseudorandom_indices(l_mtree[1], precision, samples, exclude_multiples_of=extension_factor) for pos in positions: branches.append(mk_branch(mtree, pos)) branches.append(mk_branch(mtree, (pos + skips) % precision)) branches.append(mk_branch(l_mtree, pos)) print('Computed %d spot checks' % samples)

整個(gè)證明最長(zhǎng)的部分是默克爾樹分支，還有FRI證明，這是有更多分支來(lái)組成的。這是驗(yàn)證者的實(shí)質(zhì)結(jié)果：

o = [mtree[1], l_mtree[1], branches, prove_low_degree(l_evaluations, root_of_unity, steps * 2, modulus, exclude_multiples_of=extension_factor)]

在每個(gè)位置，證明者需要提供一個(gè)默克爾證明，從而讓驗(yàn)證者能夠檢查這個(gè)默克爾證明，并且檢查C(P(x), P(g1*x), K(x)) = Z(x) * D(x)以及B(x) * Z2(x) + I(x) = P(x)（提醒：對(duì)于不在初始計(jì)算軌道上的x，Z(x)不會(huì)是零，所以C(P(x), P(g1*x), K(x)也不會(huì)是零)。驗(yàn)證者也會(huì)檢查線性組合是正確的，然后調(diào)用。

for i, pos in enumerate(positions): x = f.exp(G2, pos) x_to_the_steps = f.exp(x, steps) mbranch1 = verify_branch(m_root, pos, branches[i*3]) mbranch2 = verify_branch(m_root, (pos+skips)%precision, branches[i*3+1]) l_of_x = verify_branch(l_root, pos, branches[i*3 + 2], output_as_int=True) p_of_x = int.from_bytes(mbranch1[:32], 'big') p_of_g1x = int.from_bytes(mbranch2[:32], 'big') d_of_x = int.from_bytes(mbranch1[32:64], 'big') b_of_x = int.from_bytes(mbranch1[64:], 'big') zvalue = f.div(f.exp(x, steps) - 1, x - last_step_position) k_of_x = f.eval_poly_at(constants_mini_polynomial, f.exp(x, skips2)) # Check transition constraints Q(x) = Z(x) * D(x) assert (p_of_g1x - p_of_x ** 3 - k_of_x - zvalue * d_of_x) % modulus == 0 # Check boundary constraints B(x) * Z2(x) + I(x) = P(x) interpolant = f.lagrange_interp_2([1, last_step_position], [inp, output]) zeropoly2 = f.mul_polys([-1, 1], [-last_step_position, 1]) assert (p_of_x - b_of_x * f.eval_poly_at(zeropoly2, x) - f.eval_poly_at(interpolant, x)) % modulus == 0 # Check correctness of the linear combination assert (l_of_x - d_of_x - k1 * p_of_x - k2 * p_of_x * x_to_the_steps - k3 * b_of_x - k4 * b_of_x * x_to_the_steps) % modulus == 0

其實(shí)還沒有完成成功；證明對(duì)跨多項(xiàng)式檢查和 FRI 所需的抽查次數(shù)的可靠性分析是非常棘手的。但是這些就是所有代碼，至少你不用擔(dān)心進(jìn)行瘋狂的優(yōu)化。當(dāng)我運(yùn)行以上代碼的時(shí)候，我們會(huì)獲得STARK證明，會(huì)有300-400倍的證明成本例如，一個(gè)需要 0.2 秒的 MIMC 計(jì)算需要 60 秒來(lái)證明）。這就使得4核機(jī)器計(jì)算MIMC中的 STARK，實(shí)際上可以比后向計(jì)算 MIMC 更快。也就是說，在python語(yǔ)言，這會(huì)相對(duì)低效的實(shí)現(xiàn)，并且這也會(huì)證明運(yùn)行時(shí)間比例會(huì)不同。同時(shí)，也值得指出，MIMC 的 STARK 證明成本非常低，因?yàn)镸IMC幾乎是完美地可計(jì)算，它的數(shù)學(xué)形式很簡(jiǎn)單。對(duì)于平均計(jì)算，會(huì)包含更少的清晰計(jì)算（例如，檢查一個(gè)數(shù)是大于還是小于另一個(gè)），其計(jì)算成本可能會(huì)更高，會(huì)有大約10000-50000倍。

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